Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直角∠DFE的頂點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，兩邊FD，FE分別交AC，BC于點(diǎn)D，E兩點(diǎn)，當(dāng)∠DFE在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)D不與A，C重合），給出以下個(gè)結(jié)論：①CD=BE；②四邊形CDFE不可能是正方形；③△DFE是等腰直角三角形；④S四邊形CDFE=S△ABC．上述結(jié)論中始終正確的有______．（填序號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

首先連接CF，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，則證得∠DCF=∠B，∠DFC=∠EFB，然后可證得：△DCF≌△EBF，由全等三角形的性質(zhì)可得CD=BE，DF=EF，也可證得S四邊形CDFE=S△ABC．問題得解．

解：連接CF，

∵AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，

∴∠DCF=∠B=45°，
∵∠DFE=90°，
∴∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFB=90°，
∴∠DFC=∠EFB，
∴△DCF≌△EBF，
∴CD=BE，故①正確；
∴DF=EF，
∴△DFE是等腰直角三角形，故③正確；
∴S△DCF=S△BEF，
∴S四邊形CDFE=S△CDF+S△CEF=S△EBF+S△CEF=S△CBF=S△ABC．，故④正確．
若EF⊥BC時(shí)，則可得：四邊形CDFE是矩形，
∵DF=EF，
∴四邊形CDFE是正方形，故②錯(cuò)誤．
∴結(jié)論中始終正確的有①③④．
故答案為：①③④．