【題目】如圖,點B在線段AF上,分別以AB、BF為邊在線段AF的同側作正方形ABCD和正方形BFGE,連接CF和DE,CF交EG于H.
(1)若E是BC的中點,求證:DE=CF;
(2)若∠CDE=30°,求 的值.

【答案】
(1)證明:∵E是BC的中點,

∴BE=CE,

在正方形ABCD和正方形BFGE中,BC=CD,BE=BF,

∴BF=CE,

在△BCF和△CDE中, ,

∴△BCF≌△CDE(SAS),

∴DE=CF


(2)解:設CE=x,∵∠CDE=30°,

∴tan∠CDE= = ,

∴CD= x,

∵正方形ABCD的邊BC=CD,

∴BE=BC﹣CE= x﹣x,

∵正方形BFGE的邊長BF=BE,

∴tan∠BCF= = =

∵正方形BGFE對邊BC∥GF,

∴∠BCF=∠GFH,

∵tan∠GFH= ,

=


【解析】(1)根據(jù)線段中點的定義可得BE=CE,再根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD,BE=BF,然后求出BF=CE,再利用“邊角邊”證明△BCF和△CDE全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=CF;(2)設CE=x,根據(jù)∠CDE的正切值表示出CD,然后求出BE,從而得到∠BCF的正切值,再根據(jù)兩直線平行,內錯角相等可得∠BCF=∠GFH,然后根據(jù)等角的正切值相等解答即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解正方形的性質(正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形).

練習冊系列答案
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(1)如圖1,當點P與坐標原點重合時:求證△PCE≌△FBE;②求點F的坐標;

(2)如圖2,當點P在線段CB上時,求證SCPE=SAEF

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【題目】如圖,點P是正方形ABCD的對角線BD上的一個動點(不與B、D重合),連結AP,過點B作直線AP的垂線,垂足為H,連結DH.若正方形的邊長為4,則線段DH長度的最小值是

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①若DE⊥AB,垂足為E,請用直尺和圓規(guī)作出點D(不寫作法,保留作圖痕跡);
②若AB=4 ,BC=6,∠B=45°,則CD的取值范圍是

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