Question

17．圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．
（1）你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？
（2）請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積．
（3）觀察圖2請寫出（m+n）²，（m-n）²，mn三個代數(shù)式之間的等量關系并解決下列問題x+y=6，xy=3，求（x-y）²的值．

Answer 1

分析 （1）觀察得到長為m，寬為n的長方形的長寬之差即為陰影部分的正方形的邊長；
（2）可以用大正方形的面積減去4個長方形的面積得到圖b中的陰影部分的正方形面積；也可以直接利用正方形的面積公式得到；
（3）利用（2）中圖2中的陰影部分的正方形面積得到（m-n）²=（m+n）²-4mn，然后x+y=6，xy=3代入計算即可．

解答 解：
（1）由圖形可知陰影部分的正方形的邊長為（m-n）．
（2）根據(jù)正方形的面積公式求圖中陰影部分的面積為（m-n）²．
用大正方形的面積減去四個小長方形的面積（m+n）²-4mn．
（3）由圖形可知
大正方形的面積減去四個小長方形的面積正好等于圖中陰影部分的面積．
又∵（m+n）²正好表示大正方形的面積，（m-n）²正好表示陰影部分小正方形的面積，mn正好表示一個小長方形的面積．
∴（m+n）²-4mn=（m-n）²
將m+n換為x+y，將m-n換為x-y，將mn換為xy，得（x+y）²-4xy=（x-y）²．
將x+y=6，xy=3代入上式得（x-y）²=24．

點評 本題考查了完全平方公式的幾何背景：利用幾何圖形之間的面積關系得到完全平方公式．