Question

7．如圖，BA⊥MN，垂足為A，BA=4，點P是射線AN上的一個動點（點P與點A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，過點C作CD⊥MN，垂足為D，設(shè)AP=x
（1）CD的長度是否隨著的x變化而變化？若變化，請用含的x代數(shù)式表示CD的長度；若不變化，請求出線段CD的長度；
（2）當(dāng)x取何值時，△ABP和△CDP相似．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長CB和PA，記交點為點Q．根據(jù)等腰△QPC“三合一”的性質(zhì)證得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的對應(yīng)邊成比例得到$\frac{AB}{CD}$=$\frac{QB}{QC}$=$\frac{1}{2}$，則CD=2AB；
（2）當(dāng)△BAP∽△CDP時，易得∠BPA=60°，x=AP=$\frac{BA}{tan60°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，當(dāng)△BAP∽△PDC時，易得∠BPA=30°，AP=$\frac{BA}{tan30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=4$\sqrt{3}$，求出x的值即可．

解答 解：（1）CD的長度不變化．
理由如下：
如圖1，延長CB和PA，記交點為點Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性質(zhì)）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{QB}{QC}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8；
（2）當(dāng)△BAP∽△CDP時，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP=$\frac{BA}{tan60°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
如圖2，當(dāng)△BAP∽△PDC時，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP=$\frac{BA}{tan30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=4$\sqrt{3}$，
即x=4$\sqrt{3}$；
即當(dāng)x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或4$\sqrt{3}$時，△ABP和△CDP相似．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．