Question

已知拋物線與x軸交于不同的兩點(diǎn)和，與y軸交于點(diǎn)C，且是方程的兩個(gè)根（）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥CB交拋物線于點(diǎn)D，求四邊形ACBD的面積；

（3）如果P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線l交BC于點(diǎn)Q，那么在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

 

Answer 1

 

（1）解方程，得．………………1分

        ∴點(diǎn)，點(diǎn)．

        ∴

        解，得

∴拋物線的解析式為．·············· 2分

（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C．

     ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．

     又點(diǎn)，可求直線BC的解析式為．

∵AD∥CB，∴設(shè)直線AD的解析式為．

又點(diǎn)，∴，直線AD的解析式為．

        解，得，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，）．····················· 4分

過(guò)點(diǎn)D作DD’軸于D’， DD’＝，則又AB＝4．

∴四邊形ACBD的面積＝AB•OC+AB•DD’＝·········· 5分

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)R，設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)E（0，m），

∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，∴0<m <2，∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴可求直線AC的解析式為，∴點(diǎn)．

∵直線BC的解析式為，∴點(diǎn)．

∴．在△PQR中，

①當(dāng)RQ為底時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PR₁⊥x軸于點(diǎn)R₁，則∠R₁PQ＝90°，PQ＝PR₁＝m．

∴，解得，∴點(diǎn)，

∴點(diǎn)R₁坐標(biāo)為（，0）．····················· 6分

②當(dāng)RP為底時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作Q R₂⊥x軸于點(diǎn)R₂，

同理可求，點(diǎn)R₂坐標(biāo)為（1，0）．······················· 7分

③當(dāng)PQ為底時(shí)，取PQ中點(diǎn)S，過(guò)S作SR₃⊥PQ交x軸于點(diǎn)R₃，則PR₃＝QR₃，∠PR₃Q＝90°．∴PQ＝2R₃S＝2m．∴，解，得，

∴點(diǎn)，點(diǎn)，可求點(diǎn)R₃坐標(biāo)為（，0）． …………………8分

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)R₁，點(diǎn)R₂，點(diǎn)R₃都滿足條件．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)R，它們分別是R₁（，0），R₂（1，0）和點(diǎn)R₃（，0）．

 

 

 

 

 

 

 

 解析:略