Question

【題目】如圖，直線(xiàn)CB∥OA，∠C=∠A=120°，E、F在CB上，且滿(mǎn)足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．

（1）求∠EOB的度數(shù)；

（2）若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變化范圍；若不變，求出這個(gè)比值；

（3）在平行移動(dòng)AB的過(guò)程中，是否存在某種情況，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）1：2；（3）45°．

【解析】

（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)求出∠AOC，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠EOB=∠AOC，代入數(shù)據(jù)即可得解；
（2）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OBC=∠BOA，從而得到∠OBC=∠FOB，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠OFC=2∠OBC，從而得解；
（3）設(shè)∠AOB=x，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等表示出∠CBO=∠AOB=x，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠OEC，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可．

（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°-∠C=180°-120°=60°．

∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，∴∠EOB=∠AOC=×60°=30°；

（2）∠OBC：∠OFC的值不會(huì)發(fā)生變化，為1：2．

∵CB∥OA，∴∠OBC=∠BOA．

∵∠FOB=∠AOB，∴∠OBC=∠FOB，∴∠OFC=∠OBC+∠FOB=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2；

（3）當(dāng)平行移動(dòng)AB至∠OBA=45°時(shí)，∠OEC=∠OBA．

設(shè)∠AOB=x．

∵CB∥AO，∴∠CBO=∠AOB=x．

∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+30°，∠OBA=180°-∠A-∠AOB=180°-120°-x=60°-x，∴x+30°=60°-x，∴x=15°，∴∠OEC=∠OBA=60°-15°=45°．