Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O為△ABC外接圓的圓心，將△ABC沿AB翻折后得到△ABD．

（1）求證：點D在⊙O上；

（2）在直徑AB的延長線上取一點E，使DE2＝BEAE．

①求證：直線DE為⊙O的切線；

②過點O作OF∥BD交AD于點H，交ED的延長線于點F．若⊙O的半徑為5，cos∠DBA＝，求FH的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②FH＝．

【解析】

（1）連接OD，由圓周角定理得出AB為直徑，由翻折可知△ADB≌△ACB，得出∠ADB=90°，證出OD=AB即可；
（2）①先證明△EBD∽△EDA，得出∠EDB=∠DAE，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABD=∠ODB，由∠DAB+∠DBA=90°，得出∠EDB+∠ODB=90°，證出∠EDO=90°，即可得出結(jié)論；
②由三角函數(shù)得出BD=6，由勾股定理得出AD=8，證出HD=AD=4，由三角形中位線定理得出OH=BD=3，由三角函數(shù)求出FO=，即可得出結(jié)果．

（1）證明：連接OD，如圖所示：

∵∠ACB＝90°，

∴AB為直徑，

由翻折可知△ADB≌△ACB，

∴∠ADB＝90°，

∵O為AB中點，

∴OD＝AB，

∴D在⊙O上；

（2）①證明：∵DE2＝BEAE，

∴，∠E＝∠E，

∴△EBD∽△EDA，

∴∠EDB＝∠DAE，

∵OD＝OB，

∴∠ABD＝∠ODB，

∵∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠DBA＝90°，

∴∠EDB+∠ODB＝90°，

∴∠EDO＝90°，

∴DE為⊙O切線；

②解：在Rt△ADB中，∵cos∠DBA＝，AB＝10，

∴BD＝6，

∴AD＝＝8，

∵∠ADB＝90°，OF∥BD，

∴∠FHD＝∠ADB＝90°，

∵OH⊥AD，

∴HD＝AD＝4，

又∵OA＝OB，

∴OH＝BD＝3，

∵∠HOD＝∠ODB＝∠ABD，

∴cos∠HOD＝，

即

∴FO＝，

∴FH＝FO﹣HO＝