【題目】如圖1,給定銳角三角形ABC,小明希望畫正方形DEFG,使D,E位于邊BC上,F,G分別位于邊AC,AB上,他發(fā)現(xiàn)直接畫圖比較困難,于是他先畫了一個正方形HIJK,使得點H,I位于射線BC上,K位于射線BA上,而不需要求J必須位于AC上.這時他發(fā)現(xiàn)可以將正方形HIJK通過放大或縮小得到滿足要求的正方形DEFG.
閱讀以上材料,回答小明接下來研究的以下問題:
(1)如圖2,給定銳角三角形ABC,畫出所有長寬比為2:1的長方形DEFG,使D,E位于邊BC上,F,G分別位于邊AC,AB上.
(2)已知三角形ABC的面積為36,BC=12,在第(1)問的條件下,求長方形DEFG的面積.
【答案】(1)見解析;(2) 18或.
【解析】
(1)如圖2,先畫長方形HIJK,使得HI=2HK,并且H,I位于射線BC上,K位于射線BA上,連結(jié)BJ并延長交AC于點F,再將長方形HIJK通過放大可得到滿足要求的長方形DEFG;如備用圖,先畫長方形HIJK,使得HK=2HI,并且H,I位于射線BC上,K位于射線BA上,連結(jié)BJ并延長交AC于點F,再將長方形HIJK通過放大可得到滿足要求的長方形DEFG;
(2)作△ABC的高AM,交GF于N.由三角形ABC的面積為36,求出AM=6.再設(shè)AN=x,由GF∥BC,得出△AGF∽△ABC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式,由此求出x的值,進而求解即可.
解 (1)如圖2與備用圖1,長方形DEFG即為所求作的圖形;
(2)在長方形DEFG中,如果DE=2DG,如備用圖2,作△ABC的高AM,交GF于N.
∵三角形ABC的面積=BC·AM=×12AM=36,
∴AM=6.
設(shè)AN=x,則MN=6-x,DG=MN=6-x,DE=GF=2(6-x)=12-2x.
∵GF∥BC,
∴△AGF∽△ABC,
∴=,
∴=,
解得x=3,
∴DG=6-x=3,DE=2DG=6,
∴長方形DEFG的面積=6×3=18;
在長方形DEFG中,如果DG=2DE,同理求出x=,
∴DG=6-x=,DE=DG=,
∴長方形DEFG的面積=×=.
故長方形DEFG的面積為18或.
故答案為:(1)見解析;(2) 18或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+5與y軸交于點A,與x軸交于點B.拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點.
(1)寫出點A,B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)過點A作AC平行于x軸,交拋物線于點C,點P為拋物線上的一動點(點P在AC上方),作PD平行于y軸交AB于點D,問當(dāng)點P在何位置時,四邊形APCD的面積最大?并求出最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自主學(xué)習(xí),請閱讀下列解題過程.
解一元二次不等式:x2﹣3x>0.
解:設(shè)x2﹣3x=0,解得:x1=0,x2=5.則拋物線y=x2﹣3x與x軸的交點坐標(biāo)為(0,0)和(3,0).畫出二次函數(shù)y=x2﹣3x的大致圖象(如圖所示),由圖象可知:當(dāng)x<0或x>3時函數(shù)圖象位于x軸上方,此時y>0,即x2﹣3x>0,所以,一元二次不等式x2﹣3x>0的解集為:x<0或x>3.
通過對上述解題過程的學(xué)習(xí),按其解題的思路和方法解答下列問題:
(1)上述解答過程中,滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的 和 .(只填序號)
①轉(zhuǎn)化思想 ②分類討論思想 ③數(shù)形結(jié)合思想 ④整體思想
(2)一元二次不等式x2﹣3x<0的解集為 .
(3)用類似的方法解一元二次不等式:x2﹣3x﹣4<0的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,D是AC的中點,E是BC延長線上一點,過A作AH∥BE,連接ED并延長交AB于F,交AH于H.
(1)求證:AH=CE;
(2)如果AB=4AF,EH=8,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩千多年前,我國的學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實驗.他的做法是,在一間黑暗的屋子里,一面墻上開一個小孔,小孔對面的墻上就會出現(xiàn)外面景物的倒像.小華在學(xué)習(xí)了小孔成像的原理后,利用如圖裝置來驗證小孔成像的現(xiàn)象.已知一根點燃的蠟燭距小孔20 cm,光屏在距小孔30 cm處,小華測量了蠟燭的火焰高度為2 cm,則光屏上火焰所成像的高度為__________ cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以O為位似中心,將五邊形ABCDE放大得到五邊形A′B′C′D′E′,已知OA=10 cm,OA′=30 cm,若S五邊形A′B′C′D′E′=27 cm2,則S五邊形ABCDE=__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,按要求畫出△A1B1C1和△A2B2C2;
(1)以O為位似中心,在點O的同側(cè)作△A1B1C1,使得它與原三角形的位似比為1∶2;
(2)將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2,并求出點A旋轉(zhuǎn)的路徑的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展,人們?nèi)ド虉鲑徫锏闹Ц斗绞礁佣鄻、便捷.某校?shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了一份調(diào)查問卷,要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方式.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進行統(tǒng)計并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次活動共調(diào)查了 人;在扇形統(tǒng)計圖中,表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整.觀察此圖,支付方式的“眾數(shù)”是“ ”;
(3)在一次購物中,小明和小亮都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支付,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4,矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PH⊥EO,垂足為H.設(shè)PH的長為l,點P的橫坐標(biāo)為m,求l與m的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值;
(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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