Question

如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，且OP=2，∠APB=60°．若點(diǎn)C在⊙O上，且AC=

2

，則圓周角∠CAB的度數(shù)為

15°或75°

．

Answer 1

分析：首先連接AB，根據(jù)題意，可求得∠OAB=30°，OA=1，又由AC=

2

，由勾股定理的逆定理即可證得△OAC是等腰直角三角形，即可求得∠OAC的度數(shù)，繼而可求得答案．

解答：解：連接AB，
∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，且∠APB=60°，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠OPA=

1

2

∠APB=30°，
∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=

180°-∠AOB

2

=30°，
∵OP=2，
∴OA=

1

2

OP=1；
∵AC=

2

，OA=OC=1，
∴AC²=OA²+OC²，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠OAC=45°；
①如圖1，若點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，∠CAB=∠OAC-∠OAB=45°-30°=15°；
②如圖2，若點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，∠CAB=∠OAC+∠OAB=45°+30°=75°．
∴圓周角∠CAB的度數(shù)為：15°或75°．
故答案為：15°或75°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及勾股定理的逆定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．