Question

如圖，拋物線y＝mx²―2mx―3m(m＞0)與x軸交于A、B兩點， 與y軸交于C點.

（1）請求拋物線頂點M的坐標（用含m的代數(shù)式表示），A，B兩點的坐標；

（2）經(jīng)探究可知，△BCM與△ABC的面積比不變，試求出這個比值；

（3）是否存在使△BCM為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由..

Answer 1

解：（1）∵y＝mx²―2mx―3m＝m(x²―2x―3)＝m(x－1)²―4m,

∴拋物線頂點M的坐標為（1，―4m）···················································································· 2分

∵拋物線y＝mx²―2mx―3m(m＞0)與x軸交于A、B兩點，

∴當y＝0時，mx²―2mx―3m＝0，∵m＞0，∴x²―2x―3＝0，解得x₁＝－1，x_,2＝3，

∴A，B兩點的坐標為（－1,0）、（3,0）.·················································································· 4分

（2）當x＝0時，y＝―3m，∴點C的坐標為（0，－3m）,

∴S_△ABC＝×|3－(－1)|×|－3m|＝6|m|＝6m，····································································· 5分

過點M作MD⊥x軸于D，則OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m |＝4m.

∴S_△BCM＝S_△BDM ＋S_梯形OCMD－S_△OBC

＝BD·DM＋(OC＋DM)·OD－OB·OC

＝×2×4m＋(3m＋4m)×1－×3×3m＝3m，························································· 7分

∴  S_△BCM：S_△ABC＝1∶2.·································································································· 8分

（3）存在使△BCM為直角三角形的拋物線.

過點C作CN⊥DM于點N，則△CMN為Rt△，CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m,

∴MN＝DM－DN＝m,

∴CM²＝CN²＋MN²＝1＋m²，

在Rt△OBC中，BC²＝OB²＋OC²＝9＋9m²，

在Rt△BDM中，BM²＝BD²＋DM²＝4＋16m².

①如果△BCM是Rt△，且∠BMC＝90°時，CM²＋BM²＝BC²,

即1＋m²＋4＋16m²＝9＋9m²，

解得　m＝±,

∵m＞0，∴m＝.

∴存在拋物線y＝x²－x－使得△BCM是Rt△;··········································· 10分

②①如果△BCM是Rt△，且∠BCM＝90°時，BC²＋CM²＝BM².

即9＋9m²＋1＋m²＝4＋16m²，

解得　m＝±1,

∵m＞0，∴m＝1.

∴存在拋物線y＝x²－2x－3使得△BCM是Rt△;

③如果△BCM是Rt△，且∠CBM＝90°時，BC²＋BM²＝CM².

即9＋9m²＋4＋16m²＝1＋m²，

整理得　m²＝－，此方程無解,

∴以∠CBM為直角的直角三角形不存在.

（或∵9＋9m²＞1＋m²，4＋16m²＞1＋m²，∴以∠CBM為直角的直角三角形不存在.）

綜上的所述，存在拋物線y＝x²－x－和y＝x²－2x－3使得△BCM是Rt△.