Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，且．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)動(dòng)點(diǎn)在線段下方的拋物線上．

①連接、，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交于點(diǎn)．過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為，用含的代數(shù)式表示；

②過點(diǎn)作，垂足為，連接．是否存在點(diǎn)，使得中的一個(gè)角恰好等于的2倍?如果存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，1或

【解析】

（1）根據(jù)題意可求點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（m，0），根據(jù)OB=3OA，可求m的值，即可求解析式；

（2）①先求出直線BC解析式，即可得F點(diǎn)坐標(biāo)，利用可得用含t的代數(shù)式表示d；

②分∠CDH=2∠ABC或∠DCH=2∠ABC兩種情況討論，利用銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．

解：（1）令y=0，則，

∴ ，

∴（x-m）（x+1）=0

∴

∵m＞0，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)

∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（m，0）

∴OA=1，OB=m ，

∵OB=3OA ，∴m=3

∴拋物線

（2）①如圖1：連接AF

∵拋物線與y軸交與點(diǎn)C

∴點(diǎn)C（0，-2）

∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，-2）

∴AB=4，OC=2，AC=

∵設(shè)直線BC解析式y=kx+b

∴

解得

∴直線BC解析式

∵D點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，DF⊥AB

∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t ∴

∵

∴，

∴

∴，

②若∠DCH=2∠ABC，如圖2：

過點(diǎn)C作CF∥AB，交拋物線于F點(diǎn)，作DE⊥CF于點(diǎn)E．

∵AB∥CF ∴∠ABC=∠BCF

又∵∠DCH=2∠BCF

∴∠DCF=∠ABC=∠BCF

∵點(diǎn)D坐標(biāo)為，

∴CE=t，DE=

∵tan∠DCF=tan∠ABC=

∴

∴ （不合題意舍去），

即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．

若∠CDH=2∠ABC，如圖3：

作∠ECB=∠ABC，過點(diǎn)B作BP∥HD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，作PF⊥AB于F．

∵∠ECB=∠ABC ∴EC=BE，∠AEC=2∠ABC ，

在Rt△OEC中，

∴

∴CE=，

∴OE=OB-BE= ，

∴tan∠AEC=tan2∠ABC=

∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，-2）

∴BC=

∵BP∥HD，HD⊥BC ∴BP⊥BC，∠CDH=∠CPB=2∠ABC

∴tan∠CPB=tan2∠ABC==．

∴BP=

∵∠ABC+∠PBF=90°，∠ABC+∠OCB=90° ，

∴∠OCB=∠PBF，且∠BOC=∠PFB=90°

∴△BOC∽△PFB ∴

∴PF=BF=

∴

∴點(diǎn)P坐標(biāo)

∵點(diǎn)C（0，-2），點(diǎn)P

∴直線PC解析式

∵直線CP與拋物線交于C，D兩點(diǎn)

∴

解得：

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

綜上所述：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為或1