Question

如圖，已知A（-4，2）、B（a，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點；
（1）求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

解：（1）∵m=xy=（-4）×2=-8，
∴-4a=-8，
∴a=2，
則y=kx+b過A（-4，2），B（2，-4）兩點，
∴
解得k=-1，b=-2．
故B（2，-4），一次函數(shù)的解析式為y=-x-2；

（2）一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍：-4＜x＜0或x＞2；

（3）由（1）得一次函數(shù)y=-x-2，
令x=0，解得y=-2，
∴一次函數(shù)與y軸交點為C（0，-2），
∴OC=2，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC
=OC•|y_{點A橫坐標}|+OC•|y_{點B橫坐標}|
=×2×4+×2×2=6．
S_△AOB=6．
分析：（1）根據(jù)已知A（-4，2）、B（a，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點，將A代入反比例函數(shù)解析式求出m即可，進而得出B點坐標，即可得出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)兩圖象交點坐標即可得出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）根據(jù)圖象與坐標軸交點坐標以及A，B兩點坐標得出△AOB的面積即可．
點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩函數(shù)交點坐標的意義，一次函數(shù)與坐標軸交點的求法，以及三角形的面積公式，利用了數(shù)形結合的思想．第一問利用的方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)題意把兩交點坐標分別代入兩函數(shù)解析式中，得到方程組，求出方程組的解確定出函數(shù)解析式中的字母常數(shù)，從而確定出函數(shù)解析式，第三問要求學生借助圖形，找出點坐標與三角形邊長及邊上高的關系，進而把所求三角形分為兩三角形來求面積．