Question

【題目】如圖，某公路隧道橫截面為拋物線(xiàn)，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)M及拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求這條拋物線(xiàn)的解析式；

（3）若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”AD﹣DC﹣CB，使C、D點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）M（12，0），P（6，6）．（2）y=﹣x2+2x．（3）當(dāng)m=3米時(shí)，AD+DC+CB有最大值為15米．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)所建坐標(biāo)系易求M、P的坐標(biāo)；

（2）可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式，把O點(diǎn)（或M點(diǎn)）坐標(biāo)代入求待定系數(shù)求出解析式；

（3）總長(zhǎng)由三部分組成，根據(jù)它們之間的關(guān)系可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），用含m的式子表示三段的長(zhǎng)，再求其和的表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解．

解：（1）M（12，0），P（6，6）．（2分）

（2）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：

y=a（x﹣6）2+6 （3分）

∵拋物線(xiàn)y=a（x﹣6）2+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）

∴0=a（0﹣6）2+6，即a=﹣（4分）

∴拋物線(xiàn)解析式為：y=﹣（x﹣6）2+6，即y=﹣x2+2x．（5分）

（3）設(shè)A（m，0），則B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m）

D（m，﹣m2+2m）．（6分）

∴“支撐架”總長(zhǎng)AD+DC+CB=（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m）

=﹣m2+2m+12

=﹣（m﹣3）2+15．（8分）

∵此二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下．

∴當(dāng)m=3米時(shí)，AD+DC+CB有最大值為15米．（9分）