Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，AB＝AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點且AE＝BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AG于點O，則下列結論①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③AE+CH＞CD，中正確的是____．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由菱形的性質得出CD＝AB＝BC，由AB＝AC，推出AB＝BC＝AC，即△ABC是等邊三角形，同理可得△ADC是等邊三角形，則∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可證得△ABF≌△CAE；得出∠BAF＝∠ACE，由外角性質得出∠AEH＝∠B+∠BCE，由外角性質得出∠AHC＝∠BAF+∠AEH即可得出結果；由△ABF≌△CAE得出AE＝BF，由∠AHC＝120°得出∠CHF＝60°，由△ABC是等邊三角形得出∠ACB＝60°，則∠HCF＜60°，推出∠HFC＞60°，則∠HFC＞∠CHF得出CH＞FC，即可得出結果．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CD＝AB＝BC，

∵AB＝AC，

∴AB＝BC＝AC，

即△ABC是等邊三角形，

同理：△ADC是等邊三角形，

∴∠B＝∠EAC＝60°，

在△ABF和△CAE中，，

∴△ABF≌△CAE（SAS）；

故①正確；

∴∠BAF＝∠ACE，

∵∠AEH＝∠B+∠BCE，

∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；

故②正確；

∵△ABF≌△CAE，

∴AE＝BF，

∵∠AHC＝120°，

∴∠CHF＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∴∠HCF＜60°，

∴∠HFC＞60°，

∴∠HFC＞∠CHF，

∴CH＞FC，

∵CD＝BC＝BF+FC＝AE+FC，

∴AE+CH＞AE+FC，

即AE+CH＞CD；

故③正確；

故答案為①②③．