【題目】如圖,等邊△ABC中, AO∠BAC的角平分線, D AO上一點,以 CD為一邊且在 CD下方作等邊△CDE,連接BE.

(1)求證:△ACD≌△BCE.

(2)延長BEQ, PBQ上一點,連接 CP、CQ使 CP=CQ=5,若 BC=6,求PQ的長.

【答案】(1)詳見解析;(2)PQ=8.

【解析】

(1)根據(jù)等邊三角形得∠ACD=∠BCE,即可證明△ACD≌△BCE(SAS),

(2)CCH⊥BQ ,垂足為 H,由角平分線得到∠CAD= ∠BAC=30°,通過(1)∠CAD=∠CBH=30°,根據(jù)30°角所對直角邊等于斜邊一半求出CH=3,勾股定理得HQ=4,三線合一性質(zhì)即可求出PQ=8.

(1)證明:∵△ABC, △CDE 均為等邊三角形,

∴∠ACB=∠DCE=60°,

∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO,∠ACD=∠BCE ,

△ACD △BCE 中,

,

∴△ACD≌△BCE(SAS)

(2)解:等邊△ABC中,AO平分∠BAC,∴∠CAD= ∠BAC=30°.

如下圖,過C點作CH⊥BQ ,垂足為 H,

(1)△ACD≌△BCE ,

∠CAD=∠CBH=30°,

∴CH=BC=3 ,

Rt△CHQ 中,HQ=4(勾股定理) ,

∵CP=CQ,CH⊥PQ,

∴PH=HQ(三線合一)

∴ PQ=8.

練習冊系列答案
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