Question

【題目】如圖1，點O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設運動時間為t秒．

（1）當t= 秒時，則OP= ， S△ABP=；
（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；
（3）如圖2，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQBP=3．

Answer 1

【答案】
（1）1；
（2）

解：當△ABP是直角三角形時，

①若∠A=90°．

∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，

∴∠A≠90°，故此種情形不存在；

②若∠B=90°，如答圖2所示：

∵∠BOC=60°，

∴∠BPO=30°，

∴OP=2OB=2，又OP=2t，

∴t=1；

③若∠APB=90°，如答圖3所示：

過點P作PD⊥AB于點D，則OD=OPsin30°=t，PD=OPsin60°= t，

∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．

在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2

∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，

即[（2+t）2+（ t）2]+[（1﹣t）2+（ t）2]=32

解方程得：t= 或t= （負值舍去），

∴t= ．

綜上所述，當△ABP是直角三角形時，t=1或t=

（3）

證明：如答圖4，過點O作OE∥AP，交PB于點E，

則有 ，

∴PE= PB．

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B，

∵OE∥AP，

∴∠OEB=∠APB，

∴∠OEB=∠B，

∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．

∵AQ∥PB，

∴∠OAQ+∠B=180°，

∴∠OAQ=∠3；

∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，

∴∠1=∠2；

∴△OAQ∽△PEO，

∴ ，即 ，

化簡得：AQPB=3

【解析】（1）解：當t= 秒時，OP=2t=2× =1．
如答圖1，過點P作PD⊥AB于點D．

在Rt△POD中，PD=OPsin60°=1× = ，
∴S△ABP= ABPD= ×（2+1）× = ．
（1）如答圖1所示，作輔助線，利用三角函數(shù)或勾股定理求解；（2）當△ABP是直角三角形時，有三種情形，需要分類討論；（3）如答圖4所示，作輔助線，構造一對相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似關系證明結論．