Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC與BD相交于點O，∠BOC=
120°，AD=2，BC=4．
求：等腰梯形ABCD的面積．

Answer 1

解：過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴EF=AD=2，
在Rt△AEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=FC=（BC-AD）=1，
∴EC=3，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC與△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠BOC=120°，
∴∠ACB=30°，
∴AE=EC•tan∠ACE=3×=，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•AE=×（2+4）×=3．
分析：首先過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，即可得四邊形AEFD是矩形，則可求得BE與EC的長，根據SAS證得△ABC≌△DCB，即可求得∠ACE的度數，然后即可求得高AE的長，則可求得等腰梯形ABCD的面積．
點評：此題考查了等腰梯形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握數形結合思想的應用．