【題目】如圖,已知BC⊥AC,圓心O在AC上,點(diǎn)M與點(diǎn)C分別是AC與⊙O的交點(diǎn),點(diǎn)D是MB與⊙O的交點(diǎn),點(diǎn)P是AD延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn),且ADAO=AMAP.
(1)連接OP,證明:△ADM∽△APO;
(2)證明:PD是⊙O的切線;
(3)若AD=12,AM=MC,求PB和DM的值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)PB=6,DM=2.
【解析】
(1)根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等的兩三角形相似證明即可.
(2)首先證明△ODP≌△OCP(SAS),可得∠ODP=∠OCP,則∠ODP=90°,證出OD⊥PA即可解決問題.
(3)連接CD.由(1)可知:PC=PD,由AM=MC,推出AM=2MO=2R,在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA2,可得R2+122=9R2,推出R=3,推出OD=3,MC=6,由,可得DP的長(zhǎng)度,再根據(jù)中點(diǎn)及勾股定理求出MB的長(zhǎng)度,最后利用相似三角形的性質(zhì)求出DM即可解決問題.
(1)證明:連接OD、OP、CD.
∵ADAO=AMAP,
∴,∠A=∠A,
∴△ADM∽△APO.
(2)證明:∵△ADM∽△APO,
∴∠ADM=∠APO,
∴MDPO,
∴∠DOP=∠MDO,∠POC=∠DMO,
∵OD=OM,
∴∠DMO=∠MDO,
∴∠DOP=∠POC,
∵OP=OP,OD=OC,
∴△ODP≌△OCP(SAS),
∴∠ODP=∠OCP,
∵BC⊥AC,
∴∠ODP=∠OCP=90°,
∴OD⊥AP,
∴PD是⊙O的切線.
(3)解:連接OD、OP、CD,設(shè)圓的半徑為R,
∵△ODP≌△OCP
∴PC=PD,
∵AM=MC,
∴AM=2MO=2R,
在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA2,
∴R2+122=9R2,
∴R=3,
∴OD=3,MC=6,
∵
∴,
∴AP=18,
∴DP=AP﹣AD=18﹣12=6,
∵O是MC的中點(diǎn),MBPO,
∴,
∴點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),
∴PB=CP=DP=6,
∵MC是⊙O的直徑,
∴∠BDC=∠CDM=90°,
在Rt△BCM中,
∵BC=2DP=12,MC=6,
∴BM===6,
∵ ,
∴△BCM∽△CDM,
∴,即,
∴DM=2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),拋物線與x軸交于點(diǎn)A,C(點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)B,頂點(diǎn)為D.點(diǎn)Q為線段BC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)C).
(1)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),點(diǎn)E為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的點(diǎn)且位于第一象限,當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí),求面積的最大值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)的面積最大時(shí),過點(diǎn)E作軸,垂足為N,將線段CN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)N,再將點(diǎn)N向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度.得到點(diǎn)P,點(diǎn)G在拋物線的對(duì)稱軸上,請(qǐng)問在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)H,使點(diǎn)D,P,G,H構(gòu)成菱形.若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃投資萬元引進(jìn)一條汽車配件流水生產(chǎn)線,經(jīng)過調(diào)研知道該流水生產(chǎn)線的年產(chǎn)量為件,每件總成本為萬元,每件出廠價(jià)萬元;流水生產(chǎn)線投產(chǎn)后,從第年到第年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)(萬元)如下表:
第年 | ··· | ||||||
維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)萬元 | ··· |
若上表中第年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)(萬元)與的數(shù)量關(guān)系符合我們已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中某一個(gè).
(1)求出關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)投產(chǎn)第幾年該公司可收回萬元的投資?
(3)投產(chǎn)多少年后,該流水線要報(bào)廢(規(guī)定當(dāng)年的盈利不大于維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)即報(bào)費(fèi))?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了緩解城市交通壓力,決定修建人行天橋,原設(shè)計(jì)天橋的樓梯與地面的夾角為45°(∠ABC=45°),BC=4.2 m,后考慮安全因素,將樓梯角B移到CB的延長(zhǎng)線上點(diǎn)D處,使∠ADC=23°(如圖所示).求BD的長(zhǎng)(精確到0.1 m).(參考數(shù)據(jù):sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,tan 67°≈2.36)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1,2),以O為圓心,OA1長(zhǎng)為半徑畫弧,交直線y=x于點(diǎn)B1.過點(diǎn)B1作B1A2∥y軸交直線y=2x于點(diǎn)A2,以O為圓心,OA2長(zhǎng)為半徑畫弧,交直線y═x于點(diǎn)B2;過點(diǎn)B2作B2A3∥y軸交直線y=2x于點(diǎn)A3,以點(diǎn)O為圓心,OA3長(zhǎng)為半徑畫弧,交直線y=x于點(diǎn)B3;……按如此規(guī)律進(jìn)行下去,點(diǎn)B2020的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,AB、CD相交于點(diǎn)O,則tan∠AOD=________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=a(x﹣m)2+2m(m≠0)經(jīng)過原點(diǎn),其頂點(diǎn)為P,與x軸的另一交點(diǎn)為A.
(1)P點(diǎn)坐標(biāo)為 ,A點(diǎn)坐標(biāo)為 ;(用含m的代數(shù)式表示)
(2)求出a,m之間的關(guān)系式;
(3)當(dāng)m>0時(shí),若拋物線y=a(x﹣m)2+2m向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過點(diǎn)(1,1),求此拋物線的表達(dá)式;
(4)若拋物線y=a(x﹣m)2+2m向下平移|m|個(gè)單位長(zhǎng)度后與x軸所截的線段長(zhǎng),與平移前相比有什么變化?請(qǐng)直接寫出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:① 4ac<b2;② 方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根分別是x1=-1,x2=3;③ 3a+c>0;④當(dāng) y>0時(shí),x的取值范圍是-1<x<3;⑤ 當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大.其中正確的結(jié)論序號(hào)有_____________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,邊AB=6,AD=8,四邊形OCED為菱形,若將菱形OCED繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)過程中OE與矩形ABCD的邊的交點(diǎn)始終為M,則線段ME的長(zhǎng)度可取的整數(shù)值為___________________.
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