Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），∠ABC＝90°，連接AC．

（1）求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM∥y軸，分別交AB或BC，AC于點(diǎn)M，N，其中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，MN的長(zhǎng)為n．

①當(dāng)0＜m≤1時(shí)，求n與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)△AMN的面積最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）①n＝m；②m＝時(shí)，△AMN的面積最大為

【解析】

（1）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求解析式；

（2）①先求出直線AB，BC的解析式，分別表示M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；

②分點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)M在BC上兩種情況討論，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出面積最大值，即可求解．

解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥OC于點(diǎn)F，連接OB，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），

∴OA＝1，BE＝OF＝1，BF＝OE＝2，

∴AE＝BE＝1，

∴∠EAB＝45°，

∴∠BAO＝135°，

∵∠OAB+∠AOC+∠ABC+∠BCO＝360°，

∴∠BCO＝45°，

∴∠BCO＝∠CBF＝45°，

∴BF＝CF＝2，

∴OC＝3，

∴點(diǎn)C（3，0），

設(shè)直線AC解析式為：y＝kx+1，

∴0＝3k+1，

∴k＝﹣，

∴直線AC解析式為：y＝﹣x+1；

（2）①如圖，∵A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)C坐標(biāo)（3，0）

易得直線AB解析式為：y＝x+1，直線BC解析式為：y＝﹣x+3，

當(dāng)0＜m≤1時(shí)，即點(diǎn)M在AB上，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴點(diǎn)M（m，m+1），點(diǎn)N（m，﹣m+1），

∴MN＝n＝（m+1）﹣（﹣m+1）＝m；

②當(dāng)0＜m≤1時(shí)，MN＝n＝m，

∴S△AMN＝×m×m＝m2，

∴當(dāng)m＝1時(shí)，△AMN的面積最大為，

當(dāng)1＜m≤3時(shí)，同①可得：M'N'＝n＝﹣m+3﹣（﹣m+1）＝﹣m+2，

∴S△AMN＝×m×（﹣m+2）＝﹣（m﹣）2+，

∴當(dāng)m＝時(shí)，△AMN的面積最大為，

綜上所述：當(dāng)m＝時(shí)，△AMN的面積最大為．