【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0)、B(3,0).

(1)求b、c的值;
(2)如圖1直線y=kx+1(k>0)與拋物線第一象限的部分交于D點,交y軸于F點,交線段BC于E點.求 的最大值;
(3)如圖2,拋物線的對稱軸與拋物線交于點P、與直線BC相交于點M,連接PB.問在直線BC下方的拋物線上是否存在點Q,使得△QMB與△PMB的面積相等?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:將點A(﹣1,0)、B(3,0)帶入到拋物線解析式中得:

解得:


(2)

解:作DN∥CF交CB于N,如圖1所示.

∵DN∥CF,

∴△DEN∽△FEC,

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,

∴點C的坐標為(0,3).

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.

令直線y=kx+1中x=0,則y=1,

即點F的坐標為(0,1).

設(shè)點D的坐標為(m,﹣m2+2m+3),則點N的坐標為(m,﹣m+3),

∴DN=﹣m2+3m,CF=3﹣1=2,

=

∵DN=﹣m2+3m=﹣ + 的最大值為 ,

的最大值為


(3)

解:假設(shè)存在符合題意的點Q.

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴P點的坐標為(1,4),PM的解析式為x=1,

∵直線BC的解析式為y=﹣x+3,

∴M的坐標為(1,2),

∵點G的坐標為(1,0),

∴PM=GM=2.

設(shè)PM與x軸交于點G,過點G作作直線BC的平行線,如圖2所示.

∴過點G與BC平行的直線為y=﹣x+1.

聯(lián)立直線與拋物線解析式得: ,

解得:

∴點Q的坐標為( ,﹣ )或( ,﹣ ).

∵平行線間距離處處相等,且點M為線段PG的中點,

∴點Q到直線BC的距離與點P到直線的距離相等.

故在直線BC下方的拋物線上存在點Q,使得△QMB與△PMB的面積相等,點Q的坐標為( ,﹣ )或( ,﹣


【解析】(1)將點A、B的坐標帶入到拋物線解析式中,得出關(guān)于b、c的二元一次方程組,解方程組即可得出結(jié)論;(2)作DN∥CF交CB于N,由DN∥CF可得出△DEN∽△FEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 ,由(1)可得出拋物線的解析式,令拋物線解析式中x=0則可得出點C的坐標,由點B、C的坐標可得出直線BC的解析式,設(shè)出點D的坐標,則可得出點N的坐標,由直線DF的解析式可得出點F的坐標,從而得出DN、CF的長度,由DN的長度結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論;(3)假設(shè)存在符合題意的點Q.設(shè)PM與x軸交于點G,過點G作作直線BC的平行線.由拋物線的解析式可得出頂點P的坐標,由此得出對稱軸的解析式,結(jié)合直線BC的解析式可得出點M的坐標,結(jié)合點G的坐標可知PM=GM,由此得出滿足題意的點Q為“過點G與直線BC平行的直線和拋物線的交點”,由G點的坐標結(jié)合直線BC的解析式即可得出過點G與BC平行的直線的解析式,聯(lián)立直線與拋物線解析式得出關(guān)于x、y的二元二次方程組,解方程即可得出結(jié)論.
【考點精析】認真審題,首先需要了解一元二次方程的定義(只有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的項的最高系數(shù)為2的方程為一元二次方程),還要掌握拋物線與坐標軸的交點(一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當(dāng)b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當(dāng)b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當(dāng)b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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① AB=A1B1,AD=A1D1,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1;

② AB=A1B1,AD=A1D1,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠D=∠D1;

③ AB=A1B1,AD=A1D1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;

④ AB=A1B1,CD=C1D1,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1

其中能判定四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1全等有( )個

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多邊形的序號

多邊形的面積S

2

2.5

3

4

各邊上格點的個數(shù)和x

4


(2)在圖2中所示的格點多邊形,這些多邊形內(nèi)部都有且只有2個格點.探究此時所畫的各個多邊形的面積S與它各邊上格點的個數(shù)和x之間的關(guān)系式S=
(3)請繼續(xù)探索,當(dāng)格點多邊形內(nèi)部有且只有n(n是正整數(shù))個格點時,猜想S與x,n之間的關(guān)系式S=(用含有字母x,n的代數(shù)式表示)
(4)問題拓展:
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8

1

8

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7

3

11

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a

b

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