Question

如圖，已知拋物線 y=-x²+bx+c過點A（2，0），對稱軸為y軸，頂點為P．
（1）求該拋物線的表達(dá)式，寫出其頂點P的坐標(biāo)，并畫出其大致圖象；
（2）把該拋物線先向右平移m個單位，再向下平移m個單位（m＞0 ），記新拋物線的頂點為B，與y軸的交點為C．
①試用m的代數(shù)式表示點B、點C的坐標(biāo)；  ②若∠OBC=45°，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）小題的解題思路是把點A的坐標(biāo)和對稱軸（X=0）代入拋物線y=-x²+bx+c就可求出表達(dá)式和頂點坐標(biāo)；
（2）小題是根據(jù)平移規(guī)律（上加下減右減左加），即可求出新拋物線的頂點B的坐標(biāo)及與y軸的交點C坐標(biāo)；
②小題是先證明兩三角形相似，再利用相似三角形的邊之比相等，即可求出m的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過點A（2，0），對稱軸為y軸，代入得：

0=-4+2b+c - b 2×(-1) =0

∴b=0，c=4，
∴y=-x²+4，
當(dāng)x=0時y=4，
P的坐標(biāo)是（0，4），
大致圖象如圖（1）：
所以：該拋物線的表達(dá)式是：y=-x²+4，其頂點P的坐標(biāo)是：（0，4）．

（2）①∵拋物線先向右平移m個單位，再向下平移m個單位（m＞0）
∴B（m，4-m），
∵y=-（x-m）²+4-m，
當(dāng)x=0時代入得：y=-m²-m+4，
∴C（0，-m²-m+4），
所以，用m的代數(shù)式表示點B的坐標(biāo)是：（m，4-m），點C的坐標(biāo)是：（0，-m²-m+4）．

②過B作BN⊥y軸于N，
∵由已知，拋物線先向右平移m個單位，再向下平移m個單位，
∴PN=BN=m，∠BNP=90°
∠OPB=∠PBN=45°，又∠OBC=45°，
∴∠OPB=∠CBO=45°
又∵∠POB=∠POB，
∴△OCB與△OBP相似．
當(dāng)點C在y軸正半軸，即-m²-m+4＞0時BO²=OC•OP，
∵BO²=2m²-8m+16，OC=-m²-m+4，OP=4．
解得m1=0(舍去)，m2=

2

3

，
另解：過點C作CD⊥OB于點D，過點B作BE⊥OC于點E，
同理利用△CPB∽△CBO
當(dāng)點C在y軸負(fù)半軸，點-m²-m+4＜0時BC²=OC•CP，
∵BC²=m²+m⁴，OC=m²+m-4，CP=m²+m．
解得m1=0(舍去)，m2，3=1±

3

（負(fù)根舍去）
∴m=1+

3

，
所以m的值是

2

3

或1+

3

．

點評：解此題主要考查對求拋物線的頂點坐標(biāo)和與y軸交點坐標(biāo)的掌握，能應(yīng)用平移規(guī)律求解析式，關(guān)鍵是把二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化成相似三角形利用相似三角形的性質(zhì)來解決．