【題目】在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB于點(diǎn)D,AE⊥BC于點(diǎn)E,連接DE.
(1)如圖1,當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí),
①依題意補(bǔ)全圖形,猜想∠BAE與∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系并證明;
②用等式表示線段AE,CE,DE的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)如圖2,當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí),依題意補(bǔ)全圖形并直接寫(xiě)出線段AE,CE,DE的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)①補(bǔ)全圖形,如圖1所示.見(jiàn)解析;猜想:∠BAE=∠BCD. 理由見(jiàn)解析;②見(jiàn)解析;(2)補(bǔ)全圖形,如圖3所示. 見(jiàn)解析;線段AE,CE,DE的數(shù)量關(guān)系:CE-DE=AE.
【解析】
(1)①依題意補(bǔ)全圖形,由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAE﹢∠B=90°,
∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD;
②在AE上截取AF=CE,可證出△ACD是等腰直角三角形,得出AD=CD,可證明△ADF≌△CDE,得出DF=DE, ∠ADF=∠CDE,可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.證出△EDF是等腰直角三角形,得出EF=,即可得出結(jié)論;
(2) 在CE上截取CF=AE,連接DF由CD⊥AD,AE⊥BC,可得∠EAD=∠DCF
由∠BAC=45°可得AD=CD,可證△ADE≌△CDF,可得ED=DF∠ADE=∠CDF,可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故 ,即可得線段AE,CE,DE的數(shù)量關(guān)系.
(1)①依題意,補(bǔ)全圖形,如圖1所示.
猜想:∠BAE=∠BCD.
理由如下:
∵CD⊥AB,AE⊥BC,
∴∠BAE﹢∠B=90°,
∠BCD﹢∠B=90°.
∴∠BAE=∠BCD.
②證明:如圖2,在AE上截取AF=CE.
連接DF.
∵∠BAC=45°,CD⊥AB,
∴△ACD是等腰直角三角形.
∴AD=CD.
又∠BAE=∠BCD,
∴△ADF≌△CDE(SAS).
∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.
∵AB⊥CD,
∴∠ADF﹢∠FDC=90°.
∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.
∴△EDF是等腰直角三角形.
∴EF=.
∵AF+EF=AE,
∴CE+DE=AE.
(2)依題意補(bǔ)全圖形,如圖3所示.
在CE上截取CF=AE,連接DF
∵CD⊥AD,AE⊥BC
∴∠ADC=∠AEC=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°,∠DBC+∠DCF=90°,∠ABE=∠CBD
∴∠EAD=∠DCF
∵∠BAC=45°
∴∠DCA=45°
∴AD=CD
又∵CF=AE
∴△ADE≌△CDF
∴ED=DF
∠ADE=∠CDF
∵∠CDF+∠ADF=90°
∴∠ADE+∠ADF=90°
∴∠EDF=90°
∴△EDF是等腰直角三角形
∴
∵CE=CF+EF
∴
∴線段AE,CE,DE的數(shù)量關(guān)系:CE-DE=AE.
故答案為:CE-DE=AE
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是小石設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過(guò)程.
已知:如圖1,及上一點(diǎn)P.
求作:直線PQ,使得PQ與相切.
作法:如圖2,
①連接PO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)A;
②在上任取一點(diǎn)B(點(diǎn)P,A除外),以點(diǎn)B為圓心,BP長(zhǎng)為半徑作,與射線PO的另一個(gè)交點(diǎn)為C.
③連接CB并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q.
④作直線PQ;
所以直線PQ就是所求作的直線.
根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的過(guò)程.
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形:(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:∵CQ是的直徑,
∴________(________________)(填推理的依據(jù))
∴.
又∵OP是的半徑,
∴PQ是的切線(________________)(填推理的依據(jù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,D是邊BC上一點(diǎn),以點(diǎn)A為圓心,AD長(zhǎng)為半徑作弧,如果與邊BC有交點(diǎn)E(不與點(diǎn)D重合),那么稱(chēng)為的A-外截弧.例如,圖中是的一條A-外截弧.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知存在A-外截弧,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合.
(1)在點(diǎn),,,中,滿足條件的點(diǎn)C是_______.
(2)若點(diǎn)C在直線上.
①求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.
②直接寫(xiě)出的A-外截弧所在圓的半徑r的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三張卡片洗勻后,背面朝上放在桌面上.
(1)隨機(jī)地抽取一張,求抽到偶數(shù)的概率;
(2)請(qǐng)你通過(guò)列表或畫(huà)樹(shù)狀圖隨機(jī)地抽取一張作為十位上的數(shù)字(不放回),再抽取一張作為個(gè)位上的數(shù)字,能組成哪些兩位數(shù)?恰好是“4的倍數(shù)”的概率為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)的圖象和都在第一象限內(nèi),,軸,且,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,求此反比例函數(shù)的解析式;
(2)若將向下平移(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,,兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)同時(shí)落在反比例函數(shù)圖象上,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖.利用一面墻(墻的長(zhǎng)度不限),用20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地ABCD.設(shè)矩形與墻垂直的一邊AB=xm,矩形的面積為Sm2.
(1)用含x的式子表示S;
(2)若面積S=48m2,求AB的長(zhǎng);
(3)能?chē)?/span>S=60m2的矩形嗎?說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE為直徑的⊙O與BC相切于D,與AC相交于F,連接AD.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)若DF∥AB,則BD與CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為迎接國(guó)慶節(jié),某商店購(gòu)進(jìn)了一批成本為每件30元的紀(jì)念商品.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品每天的銷(xiāo)售量(件與銷(xiāo)售單價(jià)(元滿足一次函數(shù)關(guān)系,其圖象如圖所示.
(1)求該商品每天的銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售單價(jià)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若商店按不低于成本價(jià),且不高于60元的單價(jià)銷(xiāo)售,則銷(xiāo)售單價(jià)定為多少,才能使銷(xiāo)售該商品每天獲得的利潤(rùn)(元最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)的居民用電,按照高峰時(shí)段和空閑時(shí)段規(guī)定了不同的單價(jià).某戶5月份高峰時(shí)段用電量是空閑時(shí)段用電量2倍,6月份高峰時(shí)段用電量比5月份高峰時(shí)段用電量少50%,結(jié)果6月份的用電量和5月份的用電量相等,但6月份的電費(fèi)卻比5月份的電費(fèi)少25%,求該地區(qū)空閑時(shí)段民用電的單價(jià)比高峰時(shí)段的用電單價(jià)低的百分率是_____.
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