Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC邊上的中點(diǎn)，且△ABM≌△DCM；E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．
（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形．
（2）求證：EF與MN互相垂直．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=DC，

∴∠A+∠D=180°，

又∵△ABM≌△DCM，

∴∠A=∠D=90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形

（2）證明：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn)，

∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM．

∴NE=FM，NE∥FM．

∴四邊形MENF是平行四邊形．

∵△ABM≌△DCM，

∴BM=CM．

∵E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)，

∴ME=MF．

∴平行四邊形MENF是菱形．

∴EF與MN互相垂直

【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得出∠A=90°，即可得出結(jié)論；（2）先證明四邊形MENF是平行四邊形，再證明平行四邊形MENF是菱形，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分．