【題目】如圖,已知C是線段AB上的一點,分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBGF,點F在CD上,聯(lián)結(jié)AF、BD,BD與FG交于點M,點N是邊AC上的一點,聯(lián)結(jié)EN交AF 與點H.
(1)求證:AF=BD;
(2)如果,求證:.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)SAS證明△ACF≌△DCB即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AE=AC,GF=GB,由證得得到△EAN∽△BGM,再證明△MBG∽△BDC,由△BDC≌△FAC,得到△EAN∽△ACF,推出∠CAF+∠ANE=90°,即可得到結(jié)論.
(1)在正方形ACDE和正方形CBGF中,AC=CD,CF=CB,∠ACD=∠BCD=90°,
∴△ACF≌△DCB,
∴AF=BD;
(2)在正方形ACDE和正方形CBGF中,AE=AC,GF=GB,
∵,
∴,
∵∠EAN=∠G=90°,
∴△EAN∽△BGM,
∵CD∥BG,
∴∠CDB=∠MBG,
∵∠DCB=∠G=90°,
∴△MBG∽△BDC,
∵△BDC≌△FAC,
∴△EAN∽△ACF,
∴∠AEN=∠CAF,
∵∠AEN+∠ANE=90°,
∴∠CAF+∠ANE=90°,
∴∠AHN=90°,
∴.
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【題目】如圖1是一種紙巾盒,由盒身和圓弧蓋組成,通過圓弧蓋的旋轉(zhuǎn)來開關(guān)紙巾盒.如圖2是其側(cè)面簡化示意圖,已知矩形的長,寬,圓弧蓋板側(cè)面所在圓的圓心是矩形的中心,繞點旋轉(zhuǎn)開關(guān)(所有結(jié)果保留小數(shù)點后一位).
(1)求所在的半徑長及所對的圓心角度數(shù);
(2)如圖3,當圓弧蓋板側(cè)面從起始位置繞點旋轉(zhuǎn)時,求在這個旋轉(zhuǎn)過程中掃過的的面積.
參考數(shù)據(jù):,,取3.14.
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【題目】某超市銷售一種高檔蔬菜“莼菜”,其進價為16元/kg.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):該商品的日銷售量y(kg)是售價x(元/kg)的一次函數(shù),其售價、日銷售量對應值如表:
售價(元/) | 20 | 30 | 40 |
日銷售量() | 80 | 60 | 40 |
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(2)為多少時,當天的銷售利潤 (元)最大?最大利潤為多少?
(3)由于產(chǎn)量日漸減少,該商品進價提高了元/,物價部門規(guī)定該商品售價不得超過36元/,該商店在今后的銷售中,日銷售量與售價仍然滿足(1)中的函數(shù)關(guān)系.若日銷售最大利潤是864元,求的值.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點,點P在射線AD上,過P作PF⊥AE于F,設PA=x.
(1)求證:△PFA∽△ABE;
(2)若以P,F,E為頂點的三角形也與△ABE相似,試求x的值;
(3)試求當x取何值時,以D為圓心,DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點.
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【題目】已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別與坐標軸相交于A、B兩點(如圖所示),與反比例函數(shù)(x>0)的圖象相交于C點.
(1)寫出A、B兩點的坐標;
(2)作CD⊥x軸,垂足為D,如果OB是△ACD的中位線,求反比例函數(shù)(x>0)的關(guān)系式.
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【題目】閱讀下列材料,并用相關(guān)的思想方法解決問題.
例:若多項式分解因式的結(jié)果中有因式,求實數(shù)的值.
解:設
若,則或
由得
則是方程的解
所以,即,所以.
解決問題:(1)若多項式分解因式的結(jié)果中有因式,求實數(shù)的值;
(2)若多項式分解因式的結(jié)果中有因式和.
①求出、的值;
②直接寫出方程的解.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線(a≠0)與y軸交與點C(0,3),與x軸交于A、B兩點,點B坐標為(4,0),拋物線的對稱軸方程為x=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M從A點出發(fā),在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動,同時點N從B點出發(fā),在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動,其中一個點到達終點時,另一個點也停止運動,設△MBN的面積為S,點M運動時間為t,試求S與t的函數(shù)關(guān)系,并求S的最大值;
(3)在點M運動過程中,是否存在某一時刻t,使△MBN為直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,請說明理由.
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【題目】我們曾學過定理“在直角三角形中,如果一個銳角等于,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”,其逆命題也是成立的,即“在直角三角形中,如果一直角邊等于斜邊的一半,那么該直角邊所對的角為”.如圖,在中,,如果,那么.
請你根據(jù)上述命題,解決下面的問題:
(1)如圖1,,為格點,以為圓心,長為半徑畫弧交直線于點,則______;
(2)如圖2,、為格點,按要求在網(wǎng)格中作圖(保留作圖痕跡)。
作,使點在直線上,并且,.
(3)如圖3,在中,,,為內(nèi)一點,,于,且.
①求的度數(shù);
②求證:.
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