【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(a≠0)與y軸交與點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā),在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā),在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)△MBN的面積為S,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,試求S與t的函數(shù)關(guān)系,并求S的最大值;
(3)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使△MBN為直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)S=,運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是;(3)t=或t=.
【解析】
(1)把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式,列出關(guān)于系數(shù)a、b、c的解析式,通過解方程組求得它們的值;
(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.利用三角形的面積公式列出S△MBN與t的函數(shù)關(guān)系式.利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答;
(3)根據(jù)余弦函數(shù),可得關(guān)于t的方程,解方程,可得答案.
(1)∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1,
∴A(﹣2,0),把點(diǎn)A(﹣2,0)、B(4,0)、點(diǎn)C(0,3),
分別代入(a≠0),得:,解得:,所以該拋物線的解析式為:;
(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則AM=3t,BN=t,∴MB=6﹣3t.
由題意得,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).在Rt△BOC中,BC==5.
如圖1,過點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H,
∴NH∥CO,
∴△BHN∽△BOC,
∴,即,
∴HN=t,
∴S△MBN=MBHN=(6﹣3t)t,
即S=,
當(dāng)△PBQ存在時(shí),0<t<2,
∴當(dāng)t=1時(shí),S△PBQ最大=.
答:運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是;
(3)如圖2,在Rt△OBC中,cos∠B=.
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則AM=3t,BN=t,∴MB=6﹣3t.
①當(dāng)∠MNB=90°時(shí),cos∠B=,即,化簡(jiǎn),得17t=24,解得t=;
②當(dāng)∠BMN=90°時(shí),cos∠B=,化簡(jiǎn),得19t=30,解得t=.
綜上所述:t=或t=時(shí),△MBN為直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】廣宇、承義兩名同學(xué)分別進(jìn)行5次射擊訓(xùn)練,訓(xùn)練成績(jī)(單位:環(huán))如下表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
廣宇 | 9 | 8 | 7 | 7 | 9 |
承義 | 6 | 8 | 10 | 8 | 8 |
對(duì)他們的訓(xùn)練成績(jī)作如下分析,其中說法正確的是( )
A.廣宇訓(xùn)練成績(jī)的平均數(shù)大于承義訓(xùn)練成績(jī)平均數(shù)
B.廣宇訓(xùn)練成績(jī)的中位數(shù)與承義訓(xùn)練成績(jī)中位數(shù)不同
C.廣宇訓(xùn)練成績(jī)的眾數(shù)與承義訓(xùn)練成績(jī)眾數(shù)相同
D.廣宇訓(xùn)練成績(jī)比承義訓(xùn)練成績(jī)更加穩(wěn)定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知C是線段AB上的一點(diǎn),分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBGF,點(diǎn)F在CD上,聯(lián)結(jié)AF、BD,BD與FG交于點(diǎn)M,點(diǎn)N是邊AC上的一點(diǎn),聯(lián)結(jié)EN交AF 與點(diǎn)H.
(1)求證:AF=BD;
(2)如果,求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為迎接2022年冬奧會(huì),鼓勵(lì)更多的大學(xué)生參與到志愿服務(wù)中,甲、乙兩所學(xué)校組織了志愿服務(wù)團(tuán)隊(duì)選拔活動(dòng),經(jīng)過初選,兩所學(xué)校各有300名學(xué)生進(jìn)入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié),為了了解這些學(xué)生的整體情況,從兩校進(jìn)入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié)的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的綜合素質(zhì)展示成績(jī)(百分制),并對(duì)數(shù)據(jù)(成績(jī))進(jìn)行整理、描述和分析,下面給出了部分信息.
a.甲學(xué)校學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖(數(shù)據(jù)分成6組:,,,,,).
b.甲學(xué)校學(xué)生成績(jī)?cè)?/span>這一組是:
80 80 81 81.5 82 83 83 84
85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c.乙學(xué)校學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率(85分及以上為優(yōu)秀)如下:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 優(yōu)秀率 |
83.3 | 84 | 78 | 46% |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)甲學(xué)校學(xué)生,乙學(xué)校學(xué)生的綜合素質(zhì)展示成績(jī)同為82分,這兩人在本校學(xué)生中綜合素質(zhì)展示排名更靠前的是________(填“”或“”);
(2)根據(jù)上述信息,推斷________學(xué)校綜合素質(zhì)展示的水平更高,理由為:__________________________
(至少?gòu)膬蓚(gè)不同的角度說明推斷的合理性).
(3)若每所學(xué)校綜合素質(zhì)展示的前120名學(xué)生將被選入志愿服務(wù)團(tuán)隊(duì),預(yù)估甲學(xué)校分?jǐn)?shù)至少達(dá)到________分的學(xué)生才可以入選.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(2,0)和(3,0)之間,對(duì)稱軸是x=1.對(duì)于下列說法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m為實(shí)數(shù));⑤當(dāng)﹣1<x<3時(shí),y>0,其中正確的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】發(fā)現(xiàn)思考:已知等腰三角形ABC的兩邊分別是方程x2﹣7x+10=0的兩個(gè)根,求等腰三角形ABC三條邊的長(zhǎng)各是多少?下邊是涵涵同學(xué)的作業(yè),老師說他的做法有錯(cuò)誤,請(qǐng)你找出錯(cuò)誤之處并說明錯(cuò)誤原因.
涵涵的作業(yè)
解:x2﹣7x+10=0
a=1 b=﹣7 c=10
∵b2﹣4ac=9>0
∴x==
∴x1=5,x2=2
所以,當(dāng)腰為5,底為2時(shí),等腰三角形的三條邊為5,5,2.
當(dāng)腰為2,底為5時(shí),等腰三角形的三條邊為2,2,5.
探究應(yīng)用:請(qǐng)解答以下問題:
已知等腰三角形ABC的兩邊是關(guān)于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)當(dāng)m=2時(shí),求△ABC的周長(zhǎng);
(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在CD邊上運(yùn)動(dòng),以EM為折痕將△CEM折疊得到△PEM,連接PA,若AB=4,∠BAD=60°,則PA的最小值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=4,以點(diǎn)B為圓心,BD長(zhǎng)為半徑的扇形EBF與AD,CD交于點(diǎn)G,H,且G,H分別為AD,CD邊上的中點(diǎn),則陰影部分的面積為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平和中學(xué)以小元所在班級(jí)為例,對(duì)該班學(xué)生最喜愛參加的各類體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的情況進(jìn)行了調(diào)査統(tǒng)計(jì)(最喜愛的項(xiàng)目只能選一項(xiàng)).并把調(diào)查的結(jié)果繪制成了如下圖所示的兩種不完全統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)信息回答下列問題:
(1)小元所在的班級(jí)共有多少名學(xué)生?
(2)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖
(3)如果平和中學(xué)總計(jì)有800名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)全校學(xué)生中最喜歡參加籃球和最喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)共有多少人.
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