Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，過點D作DE⊥AD交直線AC于點E，點O是對角線AC的中點，點F是線段AD上一點，連接FO并延長交BC于點G．

（1）如圖1，若AC＝4，cos∠CAD＝，求△ADE的面積；

（2）如圖2，點H為DC是延長線上一點，連接HF，若∠H＝30°，DE＝BG，求證：DH＝CE+FH．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠ACB，因為AB⊥AC，根據(jù)三角函數(shù)得到cos∠CAD，cos∠CAD＝，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算即可得到答案；

（2）作FK⊥DH于K，根據(jù)題意，由三角函數(shù)得到HK＝FH，根據(jù)全等三角形的判定（ASA）得到△BOG≌△DOF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BG＝DF，結(jié)合題意根據(jù)全等三角形的判定（AAS）和性質(zhì)即可得到答案.

（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠CAD＝∠ACB，

∵AB⊥AC，

∴cos∠CAD＝＝cos∠ACB＝＝，

∴BC＝AD＝5，

∵cos∠CAD＝，

∴＝，

∴AE＝，

DE＝＝＝，

S△ADE＝ADDE＝×5×＝；

（2）證明：作FK⊥DH于K，如圖2所示：

∵∠H＝30°，

∴∠HFK＝60°，

∴HK＝sin60°FH＝FH，

連接BD，則OB＝OD，∠OBG＝∠ODF，∠BOG＝∠DOF，

在△BOG和△DOF中，，

∴△BOG≌△DOF（ASA），

∴BG＝DF，

∵DE＝BG，

∴DE＝DF，

∵AB⊥AC，AB∥CD，

∴CD⊥AC，

∴∠DCE＝∠FKD＝90°，

∵∠CDE+∠CED＝90°，∠CDE+∠KDF＝90°，

∴∠CED＝∠KDF，

在△DCE和△FKD中，，

∴△DCE≌△FKD（AAS），

∴DK＝CE，

∴DH＝DK+HK＝CE+FH．