Question

【題目】（材料閱讀）

我們曾解決過課本中的這樣一道題目：

如圖1，四邊形ABCD是正方形，E為BC邊上一點(diǎn)，延長BA至F，使AF＝CE，連接DE，DF．……

提煉1：△ECD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△FAD；

提煉2：△ECD≌△FAD；

提煉3：旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱是圖形全等變換的三種方式．

（問題解決）

（1）如圖2，四邊形ABCD是正方形，E為BC邊上一點(diǎn)，連接DE，將△CDE沿DE折疊，點(diǎn)C落在G處，EG交AB于點(diǎn)F，連接DF．

可得：∠EDF＝　 　°；AF，FE，EC三者間的數(shù)量關(guān)系是　 　．

（2）如圖3，四邊形ABCD的面積為8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，連接AC．求AC的長度．

（3）如圖4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D，E在邊AB上，∠DCE＝45°．寫出AD，DE，EB間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）45°，AF+EC＝FE；（2）AC＝4；（3）AD2+BE2＝DE2，證明詳見解析

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)可得△CDE≌△GDE，可得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90，證明Rt△DAF≌Rt△DGF，可得∠ADF＝∠GDF，AF＝FG．則結(jié)論得出；

（2）延長CD到E，使DE＝BC，連接AE．證明△ADE≌△ABC，可得AE＝AC，∠EAD＝∠CAB．則答案可求出；

（3）將△ACD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90得到△BCH，連接EH．證明△CEH≌△CED．可得EH＝ED．可求得∠EBH＝90．可得出HB2＋BE2＝EH2．則結(jié)論得出．

（1）由折疊的性質(zhì)可得△CDE≌△GDE，

∴CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90，

在Rt△DAF和Rt△DGF中，

，

∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），

∴∠ADF＝∠GDF，AF＝FG．

∴∠EDF＝∠EDG+∠FDG＝＝45，

EF＝FG+EG＝AF+EC；

故答案為：45，AF+EC＝FE．

（2）如圖，延長CD到E，使DE＝BC，連接AE．

∵AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90，

∴△ADE≌△ABC（SAS），

∴AE＝AC，∠EAD＝∠CAB．

∴∠EAC＝90．

∵四邊形ABCD的面積為8，可得△ACE的面積為8．

∴．

解得，AC＝4(-4舍去)．

（3）AD2+BE2＝DE2．證明如下：

如圖2：將△ACD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90得到△BCH，連接EH．

∴DC＝HC，∠DCE＝∠ECH＝45，∠CAD＝∠CBH＝45，

∵CE＝CE，

∴△CEH≌△CED（SAS）．

∴EH＝ED．

∴∠ABC+∠CBH＝∠EBH＝90．

∴HB2+BE2＝EH2．

∵AD＝BH，

∴AD2+BE2＝DE2．