Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AQ，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)（3，0）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（1，0）時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為____.

Answer 1

【答案】4

【解析】

設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B，連接BQ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及同角的余角相等可得∠PAO=∠BAQ，利用SAS可證明△APO≌△AQB，可得∠ABQ=∠AOP=90°，可知點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠ABQ是定值，即可確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的線段，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（1，0）時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q1，連接QQ1，利用SAS可證明△APP1≌△AQQ1，可得PP1=QQ1，根據(jù)P、P1的坐標(biāo)求出PP1的長(zhǎng)即可得答案.

如圖，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B，

∵線AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AQ，AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AB，

∴∠PAQ=∠OAB=90°，AP=AQ，AO=AB，

∴∠PAO+∠OAQ=∠QAB+∠OAQ=90°，

∴∠PAO=∠QAB，

在△PAO和△QAB中，，

∴△PAO≌△QAB，

∴∠ABQ=∠AOP=90°，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠ABQ=90°，是定值，

∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于AB的線段，

如圖，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（1，0）時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q1，連接QQ1，1

∴QQ1即是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的距離，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AQ，AP1=AQ1，∠PAQ=∠P1AQ1=90°，

∴∠PAP1+∠P1AQ=∠P1AQ+∠QAQ1=90°，

∴∠PAP1=∠QAQ1，

在△APP1和△QAQ1中，，

∴△APP1≌△QAQ1，

∴PP1=QQ1，

∵點(diǎn)P從點(diǎn)（-3，0）運(yùn)動(dòng)到（1，0），

∴QQ1=PP1=1-（-3）=4

故答案為：4