Question

【題目】如圖1，四邊形內(nèi)接于，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，平分．

（1）求證：；

（2）如圖2，若為直徑，過(guò)點(diǎn)的圓的切線交延長(zhǎng)線于，若，，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）2.5

【解析】

（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EDA＝∠ACB，根據(jù)圓周角定理得到∠CDA＝∠ABC，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明；
（2）連接AO并延長(zhǎng)交BC于H，AM⊥CD于M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DM＝DE＝1，AE＝AM＝2，證明Rt△ABE≌Rt△ACM，得到CM＝BE，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算得到答案．

（1）證明：∵四邊形ADBC內(nèi)接于⊙O，
∴∠EDA＝∠ACB，
由圓周角定理得，∠CDA＝∠ABC，
∵AD平分∠EDC，
∴∠EDA＝∠CDA，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：連接AO并延長(zhǎng)交BC于H，AM⊥CD于M，
∵AB＝AC，四邊形ADBC內(nèi)接于⊙O，
∴AH⊥BC，又AH⊥AE，
∴AE∥BC，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC＝90°，
∴四邊形AEBH為矩形，

∴BH＝AE＝2，
∴BC＝4，
∵AD平分∠EDC，∠E＝90°，AM⊥CD，
∴DE＝DM＝1，AE＝AM＝2，
在Rt△ABE和Rt△ACM中，

∴Rt△ABE≌Rt△ACM（HL），

∴BE＝CM，
設(shè)BE＝x，CD＝x＋2，
在Rt△BDC中，x2＋42＝（x＋2）2，
解得，x＝3，
∴CD＝5，
∴⊙O的半徑為2.5．