Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)與x軸的交點(diǎn)為A，B，頂點(diǎn)為C，將拋物線在A，C，B之間的部分記為圖象E(A，B兩點(diǎn)除外)．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）AB＝6時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線y＝kx＋b(k≠0)與圖象E有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求k的取值范圍．
（3）若橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn)．
①當(dāng)m＝1時(shí)，求線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
②若拋物線在點(diǎn)A，C，B之間的圖象E與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)恰有6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

C(1，－1).

（2）

AB＝6時(shí)，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是(－2，0)，(4，0)，又因?yàn)轫旤c(diǎn)為(－1，1)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C與A，C與B時(shí)，分別解得k＝ ，所以k的取值范圍為 ＜k＜0，或0＜k＜ .

（3）

①當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線表達(dá)式為y＝x2－2x，因此A、B的坐標(biāo)分別為(0，0)和(2，0)，則線段AB上的整點(diǎn)有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3個(gè).

②拋物線頂點(diǎn)為(1，－1)，則指定區(qū)域的整點(diǎn)的縱坐標(biāo)只能為－1或者0，所以即要求AB線段上(含AB兩點(diǎn))必須有5個(gè)整點(diǎn)；

令y＝mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為( ，0)，( ，0)，即5個(gè)整點(diǎn)是以(1，0)為中心向兩側(cè)分散，

進(jìn)而得到2≤ ＜3，所以 ＜m≤ .

【解析】（1）y＝mx2－2mx＋m－1=m(x-1）2-1，
則頂點(diǎn)C(1，－1).
（2）因?yàn)閥＝mx2－2mx＋m－1=m(x-1）2-1，
所以對(duì)稱軸為直線x=1,
因?yàn)锳B＝6，所以拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是(－2，0)，(4，0)，
因?yàn)橹本�y＝kx＋b(k≠0)過(guò)C（1，-1）點(diǎn)，則y=kx-k-1,
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)（-2,0）時(shí)，代入得-2k-k-1=0,
解得k=；
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)（4,0）時(shí)，代入得4k-k-1=0,
解得k=.
綜上所述，因?yàn)閳D象E不包括A，B，則 ＜k＜0，或0＜k＜ .
（3）①當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線表達(dá)式為y＝x2－2x，
因此A、B的坐標(biāo)分別為(0，0)和(2，0)，
則線段AB上的整點(diǎn)有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3個(gè).
②拋物線頂點(diǎn)為(1，－1)，
則指定區(qū)域的整點(diǎn)的縱坐標(biāo)只能為－1或者0，
所以即要求AB線段上(含AB兩點(diǎn))必須有5個(gè)整點(diǎn)；
令y＝mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為( ，0)，( ，0)，即5個(gè)整點(diǎn)是以(1，0)為中心向兩側(cè)分散，分別為（-1,0），（0,0），（1,0），（2,0），（3，0），
則-2< ≤-1,
進(jìn)而得到2≤ ＜3，
所以 ＜m≤ .
（1）根據(jù)頂點(diǎn)公式（），代入相應(yīng)值計(jì)算即可或者配成頂點(diǎn)式；
（2）圖象E指的是A，B，C之間所構(gòu)成的圖象，根據(jù)C（1.-1）可求出b，根據(jù)與圖象E有兩個(gè)交點(diǎn)可求出k的聚值范圍；要理解當(dāng)k>0時(shí)，隨著k的增大，直線與x軸的正半軸的較小的夾角會(huì)越來(lái)越大；當(dāng)k<0時(shí)，隨著k的增大，直線與x軸的正半軸的較小的夾角會(huì)越來(lái)越�。�
（3）①根據(jù)m的值可求出A，B的坐標(biāo)，即可得到線段AB的整點(diǎn)坐標(biāo)，包括A點(diǎn)和B點(diǎn)；
②因?yàn)槎�次函�?shù)的最小值是-1,而在拋物線在點(diǎn)A，C，B之間的圖象E與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)中是-1≤y<0的，除了（1，-1），所以其他整點(diǎn)一定在線段AB上.