Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，連接PA、PB、PO，若△POA的面積是△POB面積的 倍．
①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出QP+QA的最小值；
（3）點(diǎn)M為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)O、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣ x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴A（2，0），B（0，1），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，

∴ ，

∴

∴拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1

（2）

解：①由（1）知，A（2，0），B（0，1），

∴OA=2，OB=1，

由（1）知，拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1，

∵點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，

∴設(shè)P（a，﹣a2+ a+1），（（a＞0，﹣a2+ a+1＞0），

∴S△POA= OA×Py= ×2×（﹣a2+ a+1）=﹣a2+ a+1

S△POB= OB×Px= ×1×a= a

∵△POA的面積是△POB面積的 倍．

∴﹣a2+ a+1= × a，

∴a= 或a=﹣ （舍）

∴P（ ，1）；

②如圖1，

由（1）知，拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x= ，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C（﹣ ，0），

∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴QP+QA的最小值就是PC= ；

（3）

①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時(shí)，MN=OB=1，MN∥OB，

∵點(diǎn)N在直線AB上，

∴設(shè)M（m，﹣ m+1），

∴N（m，﹣m2+ m+1），

∴MN=|﹣m2+ m+1﹣（﹣ m+1）|=|m2﹣2m|=1，

Ⅰ、m2﹣2m=1，

解得，m=1± ，

∴M（1+ ， （1﹣ ））或M（1﹣ ， （1+ ））

Ⅱ、m2﹣2m=﹣1，

解得，m=1，

∴M（1， ）；

②當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，OB與MN互相平分，交點(diǎn)為H，

∴OH=BH，MH=NH，

∵B（0，1），O（0，0），

∴H（0， ），

設(shè)M（n，﹣ n+1），N（d，﹣d2+ d+1）

∴ ，

∴ 或 ，

∴M（﹣（1+ ）， （3+ ））或M（﹣（1﹣ ）， （3﹣ ））；

即：滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)（1+ ， （1﹣ ））或（1﹣ ，﹣ （1+ ））或（1， ）或M（﹣（1+ ）， （3+ ））或M（﹣（1﹣ ）， （3﹣ ））

【解析】（1）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，①用△POA的面積是△POB面積的 倍，建立方程求解即可；②利用對(duì)稱性找到最小線段，用兩點(diǎn)間距離公式求解即可；（3）分OB為邊和為對(duì)角線兩種情況進(jìn)行求解，①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時(shí)，用MN∥OB，表示和用MN=OB，建立方程求解；
②當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，OB與MN互相平分，交點(diǎn)為H，設(shè)出M，N坐標(biāo)用OH=BH，MH=NH，建立方程組求解即可．