Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F．求證：

（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD∥BC（已知），

∴∠ADC=∠ECF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

∵E是CD的中點(diǎn)（已知），

∴DE=EC（中點(diǎn)的定義）．

∵在△ADE與△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA），

∴FC=AD（全等三角形的性質(zhì)）

（2）證明：∵△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等），

∴BE是線段AF的垂直平分線，

∴AB=BF=BC+CF，

∵AD=CF（已證），

∴AB=BC+AD（等量代換）

【解析】（1）根據(jù)AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB=BF即可．
【考點(diǎn)精析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等．