Question

【題目】如圖，已知拋物線y= x2﹣ （b+1）x+ （b是實數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C．
（1）點B的坐標為 ， 點C的坐標為（用含b的代數(shù)式表示）；
（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（b，0）；（0， ）
（2）

解：存在，

假設存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形．

設點P的坐標為（x，y），連接OP．

則S四邊形PCOB=S△PCO+S△POB= x+ by=2b，

∴x+4y=16．

過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，

∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．

∴四邊形PEOD是矩形．

∴∠EPD=90°．

∴∠EPC=∠DPB．

∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．

由 解得

由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ﹣ =b﹣ ，

解得b= ＞2符合題意．

∴P的坐標為（ ， ）

（3）

解：假設存在這樣的點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似．

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，

∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．

∴要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸．

∵b＞2，

∴AB＞OA，

∴∠Q0A＞∠ABQ．

∴只能∠AOQ=∠AQB．此時∠OQB=90°，

由QA⊥x軸知QA∥y軸．

∴∠COQ=∠OQA．

∴要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．

（I）當∠OCQ=90°時，△CQO≌△QOA．

∴AQ=CO= ．

由AQ2=OAAB得：（ ）2=b﹣1．

解得：b=8±4 ．

∵b＞2，

∴b=8+4 ．

∴點Q的坐標是（1，2+ ）．

（II）當∠OQC=90°時，△OCQ∽△QOA，

∴ ，即OQ2=OCAQ．

又OQ2=OAOB，

∴OCAQ=OAOB．即 AQ=1×b．

解得：AQ=4，此時b=17＞2符合題意，

∴點Q的坐標是（1，4）．

∴綜上可知，存在點Q（1，2+ ）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似．

【解析】解：（1）令y=0，即y= x2﹣ （b+1）x+ =0，
解得：x=1或b，
∵b是實數(shù)且b＞2，點A位于點B的左側，
∴點B的坐標為（b，0），
令x=0，
解得：y= ，
∴點C的坐標為（0， ），
故答案為：（b，0），（0， ）；
（1）令y=0，即y= x2﹣ （b+1）x+ =0，解關于x的一元二次方程即可求出A，B橫坐標，令x=0，求出y的值即C的縱坐標；（2）存在，先假設存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形．設點P的坐標為（x，y），連接OP，過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，利用已知條件證明△PEC≌△PDB，進而求出x和y的值，從而求出P的坐標；（3）存在，假設存在這樣的點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似，有條件可知：要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸；要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分別討論求出滿足題意Q的坐標即可．