Question

【題目】解答題
（1）如圖（1）點P是正方形ABCD的邊CD上一點（點P與點C，D不重合），點E在BC的延長線上，且CE=CP，連接BP，DE．求證：△BCP≌△DCE；
（2）直線EP交AD于F，連接BF，F(xiàn)C．點G是FC與BP的交點． ①若CD=2PC時，求證：BP⊥CF；
②若CD=nPC（n是大于1的實數(shù)）時，記△BPF的面積為S1 ， △DPE的面積為S2 ． 求證：S1=（n+1）S2 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△BCP與△DCE中，

，

∴△BCP≌△DCE（SAS）

（2）證明：①∵CP=CE，∠PCE=90°，

∴∠CPE=45°，

∴∠FPD=∠CPE=45°，

∴∠PFD=45°，

∴FD=DP．

∵CD=2PC，

∴DP=CP，

∴FD=CP．

在△BCP與△CDF中，

，

∴△BCP≌△CDF（SAS）．

∴∠FCD=∠CBP，

∵∠CBP+∠BPC=90°，

∴∠FCD+∠BPC=90°，

∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．

②證法一：設CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1．

易知△FDP為等腰直角三角形，

∴FD=DP=n﹣1．

S1=S梯形BCDF﹣S△BCP﹣S△FDP

= （BC+FD）CD﹣ BCCP﹣ FDDP

= （n+n﹣1）n﹣ n×1﹣ （n﹣1）2

= （n2﹣1）；

S2= DPCE= （n﹣1）×1= （n﹣1）．

∵n2﹣1=（n+1）（n﹣1），

∴S1=（n+1）S2．

證法二：

∵AD∥BE，

∴△FDP∽△ECP，

∴ = ，

∴S1= S△BEF．

如下圖所示，連接BD．

∵BC：CE=CD：CP=n，

∴S△DCE= S△BED，

∵DP：CP=n﹣1，

∴S2= S△DCE，

∴S2= S△BED．

∵AD∥BE，∴S△BEF=S△BED，

∴S1=（n+1）S2

【解析】（1）利用SAS，證明△BCP≌△DCE；（2）在（1）的基礎上，再證明△BCP≌△CDF，進而得到∠FCD+∠BPC=90°，從而證明BP⊥CF；（3）設CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，分別求出S1與S2的值，得S1= （n2﹣1），S2= （n﹣1），所以S1=（n+1）S2結論成立．