Question

【題目】如圖，正方形的邊長為，，，，分別是，，，上的動點，且．

（1）求證：四邊形是正方形；

（2）求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形面積的最小值為32．

【解析】

(1)由正方形的性質得出.∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH,

∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出結論;

(2)設四邊形EFGH面積為S，AE=xcm,則BE=(8-x)cm,由勾股定理得出S=x2+(8-x)2=2(x-4)2+32,S是x的二次函數(shù)，容易得出四邊形EFGH面積的最小值.

證明：（1）∵四邊形是正方形，

∴，．

∵，∴．

∴，

∴，，，

∴四邊形是菱形，

∵，，，

∴四邊形是正方形．

（2）設，

則，

S四邊形EFGH，

∴當時，四邊形面積的最小值為32．