Question

17、若n是自然數(shù)且不是4的倍數(shù)，求證：1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ能被10整除．

Answer 1

分析：設a=1ⁿ，b=2ⁿ，c=3ⁿ，d=4ⁿ，因為n不是4的倍數(shù)，將n分為n=4k+1，n=4k+2和n=4k+3三種情況，分別求出每一種情況下a、b、c、d的個位數(shù)，再求a+b+c+d的個位數(shù)，如果個位數(shù)為0，則能被10整除．

解答：證明：設a=1ⁿ，b=2ⁿ，c=3ⁿ，d=4ⁿ，因為n不是4的倍數(shù)，可設n=4k+1，n=4k+2和n=4k+3．
（1）當n=4k+1時，a=1^4k+1=1，b=2^4k+1=2•（2⁴）^k=2•（16）^k，
因為無論k為什么整數(shù)，（16）^k的個位數(shù)都是6，則2•（16）^k的個位數(shù)必為2，
c=3^4k+1=3•（81）^k，因為（81）^k的個位數(shù)都是1，則3•（81）^k的個位數(shù)必為3，
同理d=4^4k+1的個位數(shù)是4，故當n=4k+1時，a+b+c+d的個位數(shù)是1+2+3+4的個位數(shù)，即0，
所以能被10整除；
（2）當n=4k+2時，a=1^4k+2=1，b=2^4k+2=4•（2⁴）^k=4•（16）^k，
因為無論k為什么整數(shù)，（16）^k的個位數(shù)都是6，則4•（16）^k的個位數(shù)必為4，
c=3^4k+2=9•（81）^k，因為（81）^k的個位數(shù)都是1，則9•（81）^k的個位數(shù)必為9，
同理d=4^4k+2的個位數(shù)是6，故當n=4k+2時，a+b+c+d的個位數(shù)是1+4+9+6的個位數(shù)，即0，
所以能被10整除；
（3）當n=4k+3時，a=1^4k+3=1，b=2^4k+3=8•（2⁴）^k=8•（16）^k，
因為無論k為什么整數(shù)，（16）^k的個位數(shù)都是6，則8•（16）^k的個位數(shù)必為8，
c=3^4k+3=27•（81）^k，因為（81）^k的個位數(shù)都是1，則27•（81）^k的個位數(shù)必為7，
同理d=4^4k+3的個位數(shù)是4，故當n=4k+3時，a+b+c+d的個位數(shù)是1+8+7+4的個位數(shù)，即0，
所以能被10整除；
綜上所述，當n不是4的倍數(shù)時，1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ能被10整除．

點評：本題考查了數(shù)的整除性．當n不是4的倍數(shù)時，其余數(shù)是1，2，3，再分別求出a，b，cd的個位數(shù)及a+b+c+d的個位數(shù)．