Question

若n是自然數(shù)且不是4的倍數(shù)，求證：1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ能被10整除．

Answer 1

證明：設(shè)a=1ⁿ，b=2ⁿ，c=3ⁿ，d=4ⁿ，因?yàn)閚不是4的倍數(shù)，可設(shè)n=4k+1，n=4k+2和n=4k+3．
（1）當(dāng)n=4k+1時(shí)，a=1^4k+1=1，b=2^4k+1=2?（2⁴）^k=2?（16）^k，
因?yàn)闊o論k為什么整數(shù)，（16）^k的個(gè)位數(shù)都是6，則2?（16）^k的個(gè)位數(shù)必為2，
c=3^4k+1=3?（81）^k，因?yàn)椋?1）^k的個(gè)位數(shù)都是1，則3?（81）^k的個(gè)位數(shù)必為3，
同理d=4^4k+1的個(gè)位數(shù)是4，故當(dāng)n=4k+1時(shí)，a+b+c+d的個(gè)位數(shù)是1+2+3+4的個(gè)位數(shù)，即0，
所以能被10整除；
（2）當(dāng)n=4k+2時(shí)，a=1^4k+2=1，b=2^4k+2=4?（2⁴）^k=4?（16）^k，
因?yàn)闊o論k為什么整數(shù)，（16）^k的個(gè)位數(shù)都是6，則4?（16）^k的個(gè)位數(shù)必為4，
c=3^4k+2=9?（81）^k，因?yàn)椋?1）^k的個(gè)位數(shù)都是1，則9?（81）^k的個(gè)位數(shù)必為9，
同理d=4^4k+2的個(gè)位數(shù)是6，故當(dāng)n=4k+2時(shí)，a+b+c+d的個(gè)位數(shù)是1+4+9+6的個(gè)位數(shù)，即0，
所以能被10整除；
（3）當(dāng)n=4k+3時(shí)，a=1^4k+3=1，b=2^4k+3=8?（2⁴）^k=8?（16）^k，
因?yàn)闊o論k為什么整數(shù)，（16）^k的個(gè)位數(shù)都是6，則8?（16）^k的個(gè)位數(shù)必為8，
c=3^4k+3=27?（81）^k，因?yàn)椋?1）^k的個(gè)位數(shù)都是1，則27?（81）^k的個(gè)位數(shù)必為7，
同理d=4^4k+3的個(gè)位數(shù)是4，故當(dāng)n=4k+3時(shí)，a+b+c+d的個(gè)位數(shù)是1+8+7+4的個(gè)位數(shù)，即0，
所以能被10整除；
綜上所述，當(dāng)n不是4的倍數(shù)時(shí)，1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ能被10整除．