Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)E在AC上（點(diǎn)E與A、C都不重合），點(diǎn)F在斜邊AB上（點(diǎn)F與A、B都不重合）．
（Ⅰ）若EF平分Rt△ABC的周長(zhǎng)，設(shè)AE=x，△AEF的面積為y，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（Ⅱ）試問：是否存在直線EF將Rt△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)AE=x得到AF，然后表示出DF，利用三角形的面積列出兩個(gè)變量之間的關(guān)系式即可；
（Ⅱ）根據(jù)EF平分三角形ABC的面積列出有關(guān)x的一元二次方程，解得有意義即可判定存在．
解答：解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5
∴三角形ABC的周長(zhǎng)為12，又因EF平方三角形ABC的周長(zhǎng)，
∴AE+AF=6，而AE=x，
∴AF=6-x
過點(diǎn)F作FD⊥AC于D
則
∴
∴DF=
所以y=AE•DF=x•=-x²+x（1＜x＜3）

（Ⅱ）這樣的EF存在，
S△ABC=BC•AC=×4×3=6
∵EF平分△ABC的面積，
所以-x²+x=3
解得：x=
∵0＜x＜3
∴x取
∴6-x=6-=＜5
符合題意，所以這樣的EF存在，此時(shí)AE=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件表示出有關(guān)的線段的長(zhǎng)．