【題目】如圖,AB為⊙O直徑,P點(diǎn)為半徑OA上異于O點(diǎn)和A點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn),過P點(diǎn)作與直徑AB垂直的弦CD,連接AD,作BEAB,OEADBEE點(diǎn),連接AE、DE、AECDF點(diǎn).

(1)求證:DE為⊙O切線;

(2)若⊙O的半徑為3,sinADP=,求AD;

(3)請(qǐng)猜想PFFD的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

【答案】(1)證明見解析;(2)2;(3)PF=FD,證明見解析.

【解析】(1)如圖1,連接OD、BD,根據(jù)圓周角定理得:∠ADB=90°,則ADBD,OEBD,由垂徑定理得:BM=DM,證明BOE≌△DOE,則∠ODE=OBE=90°,可得結(jié)論;

(2)設(shè)AP=a,根據(jù)三角函數(shù)得:AD=3a,由勾股定理得:PD=2a,在直角OPD中,根據(jù)勾股定理列方程可得:32=(3-a)2+(2a)2,解出a的值可得AD的值;

(3)先證明APF∽△ABE,得,由ADP∽△OEB,得,可得PD=2PF,可得結(jié)論.

詳證明:(1)如圖1,連接OD、BD,BDOEM,

AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,ADBD,

OEAD,

OEBD,

BM=DM,

OB=OD,

∴∠BOM=DOM,

OE=OE,

∴△BOE≌△DOE(SAS),

∴∠ODE=OBE=90°,

DE為⊙O切線;

(2)設(shè)AP=a,

sinADP=,

AD=3a,

PD=

OP=3-a,

OD2=OP2+PD2

32=(3-a)2+(2a)2,

9=9-6a+a2+8a2,

a1=,a2=0(舍),

當(dāng)a=時(shí),AD=3a=2,

AD=2;

(3)PF=FD,

理由是:∵∠APD=ABE=90°,PAD=BAE,

∴△APF∽△ABE,

,

PF=

OEAD,

∴∠BOE=PAD,

∵∠OBE=APD=90°,

∴△ADP∽△OEB,

,

PD=

AB=2OB,

PD=2PF,

PF=FD.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)若巡邏車行駛1千米耗油0.1升,出發(fā)時(shí)油箱有油5升,請(qǐng)問途中需要加油嗎?若需要,途中至少還需補(bǔ)充多少升油?

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例如:判斷1675282能不能被17整除. 167528﹣2×5=167518,16751﹣8×5=16711,1671﹣1×5=1666,166﹣6×5=136,到這里如果你仍然觀察不出來,就繼續(xù)…6×5=30,現(xiàn)在個(gè)位×5=30>剩下的13,就用大數(shù)減去小數(shù),30﹣13=17,17÷17=1;所以1675282能被17整除.

(1)請(qǐng)用上述方法判斷72422098754 是否是靈動(dòng)數(shù),并說明理由;

(2)已知一個(gè)四位整數(shù)可表示為,其中個(gè)位上的數(shù)字為n,十位上的數(shù)字為m,0≤m≤9,0≤n≤9m,n為整數(shù).若這個(gè)數(shù)能被51整除,請(qǐng)求出這個(gè)數(shù).

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