【題目】已知,在中,,為上一動點,以為斜邊作,,交于點,且.
(1)如圖①,若平分,,求的長
(2)如圖②,連接并延長交的延長線于點,過點作于,求證.
【答案】(1)12;(2)見解析
【解析】
(1)由“SAS”可證△AEM≌△FCM,可得EM=MC,由等腰三角形性質(zhì)可求∠AEF=∠MCE=∠MEC=30°,由直角三角形的性質(zhì)可求ME=MC=8,即可求AC的長;
(2)過點C作CG⊥AC交AD于點G,由“SAS”可證△ACG≌△EFC,可得AG=CE,CF=CG,由等腰三角形的性質(zhì)可得FG=2FN,即可得結(jié)論.
(1)∵EF平分∠AEC,
∴∠AEF=∠FEC,
∵∠BAC=∠EFC=90°,AM=MF,∠AME=∠FMC
∴△AEM≌△FCM(SAS)
∴EM=MC
∴∠MEC=∠MCE
∴∠MEC=∠MCE=∠AEF,
∵∠MEC+∠MCE+∠AEF=90°
∴∠AEF=∠MCE=∠MEC=30°,且∠BAC=90°
∴EM=2AM=8
∴MC=8
∴AC=AM+MC=12
(2)如圖,過點C作CG⊥AC交AD于點G,
由(1)可知:EM=MC
∵AM=MF
∴AC=EF,
∵∠BAC=∠EFC=90°
∴點A,點F,點C,點E四點共圓
∴∠CAG=∠FEC,且AC=EF,∠EFC=∠ACG=90°
∴△ACG≌△EFC(ASA)
∴AG=CE,CF=CG,
∵CF=CG,CN⊥AG
∴FG=2FN
∴EC=AG=AF+FG=AF+2FN
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【題目】如圖,在□ABCD中,AD=2AB,F是AD的中點,作CE⊥AB,垂足E在線段AB上,連接EF、CF,則下列結(jié)論:(1)∠DCF=∠BCD;(2)EF=CF;(3)S△BEC= 2S△CEF;(4)∠DFE=3∠AEF;其中正確的結(jié)論是( )
A.(1)(2)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(3)(4)
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【題目】閱讀材料:小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如:3+2=(1+)2,善于思考的小明進行了以下探索:
設(shè)a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均為整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn.
∴a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把部分a+b的式子化為平方式的方法.
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題:
(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時,若a+b=(m+n)2,用含m、n的式子分別表示a、b,得a= ,b= ;
(2)試著把7+4化成一個完全平方式.
(3)若a是216的立方根,b是16的平方根,試計算:.
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【題目】如圖,已知點分別在的邊上運動(不與點重合),是的平分線,的延長線交角的平分線于點.
(1)若,求的度數(shù).
(2)若,求的度數(shù).
(3)若,請用含的代數(shù)式表示的度數(shù).
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【題目】在正方形ABCD中,BD是一條對角線,點E在直線CD上(與點C,D不重合),連接AE,平移△ADE,使點D移動到點C,得到△BCF,過點F作FG⊥BD于點G,連接AG,EG.
(1)問題猜想:如圖1,若點E在線段CD上,試猜想AG與EG的數(shù)量關(guān)系是____________,位置關(guān)系是____________;
(2)類比探究:如圖2,若點E在線段CD的延長線上,其余條件不變,小明猜想(1)中的結(jié)論仍然成立,請你給出證明;
(3)解決問題:若點E在線段DC的延長線上,且∠AGF=120°,正方形ABCD的邊長為2,請在備用圖中畫出圖形,并直接寫出DE的長度.
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【題目】如圖,已知三個頂點的坐標(biāo)分別為,,,
(1)若將△ABC 向右平移三個單位長度得到△A1B1C1,則點 A1 的坐標(biāo)為________
(2)若△ABC 與△A2B2C2 關(guān)于原點 O 成中心對稱,則點 A2 的坐標(biāo)________;
(3)畫出△ABC 繞原點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 90°后的對應(yīng)圖形△A3B3C3,并寫出 A3 的坐標(biāo)_____
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【題目】某商城銷售A,B兩種自行車.A型自行車售價為2 100元/輛,B型自行車售價為1 750元/輛,每輛A型自行車的進價比每輛B型自行車的進價多400元,商城用80 000元購進A型自行車的數(shù)量與用64 000元購進B型自行車的數(shù)量相等.
(1)求每輛A,B兩種自行車的進價分別是多少?
(2)現(xiàn)在商城準備一次購進這兩種自行車共100輛,設(shè)購進A型自行車m輛,這100輛自行車的銷售總利潤為y元,要求購進B型自行車數(shù)量不超過A型自行車數(shù)量的2倍,總利潤不低于13 000元,求獲利最大的方案以及最大利潤.
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【題目】某校準備組織七年級400名學(xué)生參加北京夏令營,已知用3輛小客車和1輛大客車每次可運送學(xué)生105人;用1輛小客車和2輛大客車每次可運送學(xué)生110人;
(1)每輛小客車和每輛大客車各能坐多少名學(xué)生?
(2)若學(xué)校計劃租用小客車x輛,大客車y輛,一次送完,且恰好每輛車都坐滿;
①請你設(shè)計出所有的租車方案;
②若小客車每輛需租金4000元,大客車每輛需租金7600元,請選出最省錢的租車方案,并求出最少租金.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AE=AC,AB=AD,∠EAB=∠CAD.
(1)BC與DE相等嗎?說明理由.
(2)若BC與DE相交于點F,EF=CF.連接AF,∠BAF與∠DAF相等嗎?說明理由.
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