Question

 如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=2，OC=3．

(1)求拋物線的解析式．

(2)若點(diǎn)D(2，2)是拋物線上一點(diǎn)，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BDP的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

注：二次函數(shù)（≠0）的對稱軸是直線= 

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）P（，）

【解析】解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（－2，0），C（0，3）。

將C（0，3）代入得c=3。

將A（－2，0）代入得，，解得b=。

∴拋物線的解析式為。

（2）如圖：連接AD，與對稱軸相交于P，

由于點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于對稱軸對稱，則即BP+DP=AP+DP，當(dāng)A、P、D共線時(shí)BP+DP=AP+DP最小。

設(shè)AD的解析式為y=kx+b，

將A（-2，0），D（2，2）分別代入解析式得，

，解得，，∴直線AD解析式為y=x+1。

∵二次函數(shù)的對稱軸為，

∴當(dāng)x=時(shí)，y=×+1=。∴P（，）。

（1）根據(jù)OC=3，可知c=3，于是得到拋物線的解析式為，然后將A（－2，0）代入解析式即可求出b的值，從而得到拋物線的解析式。

（2）由于BD為定值，則△BDP的周長最小，即BP＋DP最小，由于點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于對稱軸對稱，則即BP+DP=AP+DP，當(dāng)A、P、D共線時(shí)BP+DP=AP+DP最小。