Question

【題目】如圖，已知是△的外角的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交△的外接圓于點(diǎn)，連接， ．

（）求證： ．

（）已知，若是△外接圓的直徑， ，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）由四邊形AFBC內(nèi)接于圓可證得∠DAC=∠FBC；由AD平分∠EAC可得∠EAD=∠DAC，結(jié)合∠EAD=∠FAB，∠FAB=∠FCB，可得∠FCB=∠DAC，從而可得結(jié)論：∠FBC=∠FCB；

（2）由已知條件易證△ABF∽△BDF，由此可得： 即，從而可解得； ， 可解得：FD=6，AD=4；由AB是△ABC外接圓的直徑可得∠DFB=∠ACB=∠ACD=90°，由此可解得BD=，結(jié)合∠D=∠D，可證得△DBF∽△DAC，由此可得CD:DF=AD:BD即可解得CD的值.

試題解析：

（）∵四邊形內(nèi)接于圓，

∴，

∵，

∴，

∵是△的外角平分線，

∴， ，

∴，

又∵，

∴．

（）由（）得，

又∵，

∴△∽△，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴， ，

∵是直徑，

∴，

∴BD=，

又∵∠D=∠D，

∴△DBF∽△DAC，

∴ ，

∴CD=24，解得：CD=.