Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，若將△APB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△CQB。

（1）△BPQ是 三角形；

（2）求PQ的長(zhǎng)度；

（3）求∠APB的度數(shù)。

Answer 1

【答案】（1）等邊；（2）PQ=4；（3）∠APB=150°

【解析】

（1）連接PQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BAP≌△BCQ，可推出BP=BQ，∠PBQ=60°，進(jìn)而得到等邊△BPQ；

（2）△BPQ為等邊三角形，所以PQ=PB=4；

（3）由PQ=4，CQ=3，PC=5，可得出△PCQ為直角三角形，∠PQC=90°，由∠APB=∠CQB可得結(jié)果.

（1）連接PQ，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BAP≌△BCQ,

∴∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，

又∵∠ABC=60°，

∴∠ABP+∠PBC=60°

∴∠CBQ+∠PBC=60°，即∠PBQ=60°，

∴△BPQ為等邊三角形，

（2）∵△BPQ為等邊三角形，

∴PQ=PB=4

（3）∵△BAP≌△BCQ，

∴CQ=PA=3，

在△PCQ中，PQ=4，CQ=3，PC=5，

∵32+42=52，即CQ2+PQ2=PC2，

∴△PCQ為直角三角形，∠PQC=90°，

又∵△BPQ為等邊三角形，

∴∠BQP=60°，

∴∠CQB=∠BQP+∠PQC=150°

∵△BAP≌△BCQ,

∴∠APB=∠CQB=150°.