Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．
（1）求證：EF=FM．
（2）當AE=2時，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，

∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴F、C、M三點共線，

∴DE=DM，∠EDM=90°，

∴∠EDF+∠FDM=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDF=45°，

在△DEF和△DMF中，

，

∴△DEF≌△DMF（SAS），

∴EF=MF；

（2）解：設(shè)EF=MF=x，

∵AE=CM=2，且BC=6，

∴BM=BC+CM=6+2=8，

∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，

∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

則EF=5．

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出EF=MF；（2）由第一問的全等得到AE=CM=2，正方形的邊長為6，用AB﹣AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設(shè)EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長．
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．