Question

【題目】如圖所示，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8），拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與直線y＝x－4交于B ， D兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式并直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BD下方，試求出△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q是線段BD上異于B、D的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于點(diǎn)F ， 交拋物線于點(diǎn)G ． 當(dāng)△QDG為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8）

∴ ,解得.

∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－8

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－1，－5）

（2）

過P作PE∥y軸，交直線AB于點(diǎn)E

設(shè)P（x，x2－2x－8）則E（x，x－4）

∴PE＝x－4－(x2－2x－8)＝－x2＋3x＋4

∴S△BDP＝S△DEP＋S△BEP＝ PE·(xE－xD)＋ PE·(xB－xE)

＝ PE·(xB－xD)＝ PE＝ (－x2＋3x＋4)

＝－ (x－ )2＋

∴當(dāng)x＝ 時(shí)，△BDP面積的最大值為

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，－ ）

（3）

設(shè)直線y＝x－4與y軸相交于點(diǎn)K，則K（0，－4）

∵B（4，0），∴OB＝OK＝4，∴∠OKB＝∠OBK＝45°

∵QF⊥x軸，∴∠DQG＝45°

若△QDG為直角三角形，則△QDG是等腰直角三角形

①∠QDG＝90°，過D作DH⊥QG于H，∴QG＝2DH，

∴－x2＋3x＋4＝2(x＋1)，解得x 1＝－1（舍去），

x 2＝2，∴Q1（2，－2）

②∠DGQ＝90°，則DH＝QH，

∴－x2＋3x＋4＝x+1，解得x 1＝-1（舍去），x 2＝3，∴P2（3，－1）

綜上所述，當(dāng)△QDG為直角三角形時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，－2）或（3，－1）

【解析】（1）設(shè)出一元二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出a、b、c的值；
（2）設(shè)出PE兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從圖中可以看出SBDP=SEPB+SEPD.運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求出SBDP的的最值及P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）一次函數(shù)為y=x-4，則意味著∠OKB=∠OBK=45°，則如果△QDG是直角三角形，必定是等腰直角三角形。但接下來要分兩種情況去進(jìn)行討論：①∠QDG=90°；②∠DGQ=90°.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．