Question

如圖，已知拋物線y=-

4

9

(x-1)2+4，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，設(shè)⊙P的半徑為r，當(dāng)⊙P與x軸和直線BC都相切時(shí)，則圓心P的坐標(biāo)為

(1，

3

2

)或（1，-6）

．

Answer 1

分析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a），求出B和C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC的解析式，再求出點(diǎn)P到直線BC的距離，根據(jù)⊙P與x軸和直線BC都相切，列出等式求出a的值．

解答：解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a），
∵拋物線的解析式為y=-

4

9

(x-1)2+4，
∴拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4），
令y=0，解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

k+b=4 4k+b=0

，
解得k=-

4

3

，b=

16

3

，
則直線BC的解析式為y=-

4

3

x+

16

3

，
點(diǎn)P到直線BC的距離d=

|4+3a-16|

5

，
點(diǎn)P到x軸的距離為|a|，
又知⊙P與x軸和直線BC都相切時(shí)，
即

|4+3a-16|

5

=|a|，
解得a=

3

2

或a=-6．
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，

3

2

)或（1，-6）．
故答案為(1，

3

2

)或（1，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，此題難度不大．