Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD，點O為AD中點，點E在BD上，連接EO并延長交BC于點F，連接BE，DF．

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）若AB=3，AD=6，∠BAD=135°，當四邊形BEDF為菱形時，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) AE =1.

【解析】

（1）先根據(jù)“SAS”證明△DOE≌△BOF，從而ED=BF，再根據(jù)一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形即可證得結(jié)論成立；

（2）過點B作BH⊥AD，交DA延長線于點H，可證△ABH是等腰直角三角形，從而求出BH=HA=3，設AE=x，則EB=ED=6－x，在Rt△BHE中，利用勾股定理列方程求解即可.

（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC∥AD，

∴∠ADB=∠CBD，

又∵點O為AD中點，∴BO=OD

∵在△DOE和△BOF中，

，

∴△DOE≌△BOF，

∴ED=BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形.

（2）如圖，過點B作BH⊥AD，交DA延長線于點H，

∵∠BAD=135°，

∴∠BAH=45°

在Rt△ABH中，AB=3，

∴BH=HA=3，

設AE=x，

∵四邊形BEDF為菱形，

∴EB=ED=6－x

在Rt△BHE中，BH2+HE2=BE2，

∴32+（3+x）2=（6－x）2

解得：x=1 ，

∴AE =1.