【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M為直線lxa上一點(diǎn),N是直線l外一點(diǎn),且直線MNx軸不平行,若MN為某個(gè)矩形的對(duì)角線,且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直,則稱該矩形為直線l伴隨矩形.如圖為直線l伴隨矩形的示意圖.

1)已知點(diǎn)A在直線lx2上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,﹣2

①若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為0,則以AB為對(duì)角線的直線l伴隨矩形的面積是  ;

②若以AB為對(duì)角線的直線l伴隨矩形是正方形,求直線AB的表達(dá);

2)點(diǎn)P在直線lxm上,且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,若在以點(diǎn)(21),(﹣21),(﹣2,﹣1),(2,﹣1)為頂點(diǎn)的四邊形上存在一點(diǎn)Q,使得以PQ為對(duì)角線的直線l伴隨矩形為正方形,直接寫(xiě)出m的取值范圍.

【答案】1)①以AB為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”AMBN的面積為2;②直線AB的表達(dá)式為y=﹣x+1yx5;(2m的范圍為﹣7m≤﹣11m7

【解析】

1)①根據(jù)伴隨矩形的定義畫(huà)出圖形即可解決問(wèn)題;

②根據(jù)題意,當(dāng)以AB為對(duì)角線的直線l伴隨矩形為正方形時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-1)或(2,-3),利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題;

2)如圖3中,求出經(jīng)過(guò)特殊位置時(shí)當(dāng)P坐標(biāo)即可解決問(wèn)題:當(dāng)Q1坐標(biāo)為(-2,-1)時(shí),可得P1-7,4);當(dāng)Q2坐標(biāo)為(2,1)時(shí),可得P2-14);當(dāng)Q3坐標(biāo)為(2,-1)時(shí),可得P37,4);當(dāng)Q4坐標(biāo)為(-2,1)時(shí),可得P41,4);再結(jié)合圖象即可解決問(wèn)題;

1)①如圖1中,∵A2,0),B3,﹣2).

∴以AB為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”AMBN的面積=1×22

②如圖2中,

根據(jù)題意,當(dāng)以AB為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”為正方形時(shí),

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,﹣1)或(2,﹣3).

可得,直線AB的表達(dá)式為:y=﹣x+1yx5

2)如圖3中,

當(dāng)Q1坐標(biāo)為(﹣2,﹣1)時(shí),可得P1(﹣7,4);

當(dāng)Q2坐標(biāo)為(2,1)時(shí),可得P2(﹣14);

當(dāng)Q3坐標(biāo)為(2,﹣1)時(shí),可得P374);

當(dāng)Q4坐標(biāo)為(﹣2,1)時(shí),可得P41,4);

觀察圖象可知:在以點(diǎn)(2,1),(﹣21),(﹣2,﹣1),(2,﹣1)為頂點(diǎn)的四邊形上存在一點(diǎn)Q,使得以PQ為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”為正方形時(shí),m的范圍為﹣7m≤﹣11m7

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;

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