Question

【題目】如圖（1），在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，連接BD．現(xiàn)將一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在BD所在的直線上，一條直角邊過點(diǎn)C，另一條直角邊與AB所在的直線交于點(diǎn)G．

（1）是否存在這樣的點(diǎn)P，使點(diǎn)P、C、G為頂點(diǎn)的三角形與△GCB全等？若存在，畫出圖形，并直接在圖形下方寫出BG的長(zhǎng)．（如果你有多種情況，請(qǐng)用①、②、③、…表示，每種情況用一個(gè)圖形單獨(dú)表示，如果圖形不夠用，請(qǐng)自己畫圖）
（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，以P為圓心、PB為半徑作圓分別交BA、BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，連EF，分別過點(diǎn)G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N為垂足．試探究PM與FN的關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）解：存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P、C、G為頂點(diǎn)的三角形與△GCB全等．

①若點(diǎn)G在線段AB上，如圖①．

當(dāng)BG=PC時(shí)，根據(jù)HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，

此時(shí)∠GCB=∠CGP，

∴PG∥BC，

∴∠GPC+∠PCB=90°．

∵∠GPC=90°，

∴∠PCB=90°，

∴點(diǎn)P在點(diǎn)D處，

∴BG=PC=DC=AB=3；

②若點(diǎn)G在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖②．

當(dāng)BG=PC時(shí)，根據(jù)HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，

此時(shí)BC=PG，∠GCB=∠CGP，

∴OG=OC，OB=OP，

∴∠PBO=∠BPO= （180°﹣∠BOP），

∠OCG=∠OGC= （180°﹣∠GOC）．

∵∠BOP=∠GOC，

∴∠PBO=∠OCG，

∴BD∥CG．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，即BG∥DC，

∴四邊形BGCD是平行四邊形，

∴BG=CD=3；

③若點(diǎn)G在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，如圖③．

當(dāng)PC=BC時(shí)，根據(jù)HL可得Rt△GBC≌Rt△GPC，

此時(shí)BG=PG，

∴點(diǎn)G、C在BP的垂直平分線上，

∴GC垂直平分BP，

∴∠BGC+∠GBD=90°．

∵∠CBD+∠GBD=90°，

∴∠BGC=∠CBD．

又∵∠GBC=∠BCD=90°，

∴△GCB∽△BDC，

∴ ．

∵BC=4，CD=3，

∴ = ，

∴BG= ；

（2）解：如圖2，

由（1）可知，此時(shí)△GBC≌△GPC，且BG=PG= ，BC=PC=4．

∵GM⊥EF，CN⊥EF，

∴∠GMP=∠PNC=90°，

∴∠MGP+∠GPM=90°．

∵∠GPC=90°，

∴∠GPM+∠NPC=90°，

∴∠MGP=∠NPC，

∴△PGM∽△CPN，

∴ ．

∴ = ，即PM= CN．

∵PB=PF，∴∠F=∠PBC．

又∵∠FNC=∠BCD=90°，

∴△FNC∽△BCD，

∴ ．

∵BC=4，DC=3，

∴ ，

∴FN= CN，

∴PM=FN．

【解析】（1）當(dāng)BG=PC時(shí)，根據(jù)HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，此時(shí)∠GCB=∠CGP，得到PG∥BC，∠GPC+∠PCB=90°；由∠GPC=90°，∠PCB=90°，點(diǎn)P在點(diǎn)D處，得到BG=PC=DC=AB=3；（2）由（1）可知，此時(shí)△GBC≌△GPC，知道BG=PG，BC=PC的值，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似，得到△PGM∽△CPN，得到比例，得到△FNC∽△BCD，得到比例，得到PM=FN．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解圓心角、弧、弦的關(guān)系(在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．