Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．
（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P，A，C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c

由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），可知c=3．即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3．

把點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（﹣3，0）代入，得 解得a=﹣1，b=﹣2

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）

（2）

解：△BCD是直角三角形．

理由如下：解法一：過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．

∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC2=OB2+OC2=18

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，

∴CD2=DF2+CF2=2

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，

∴BD2=DE2+BE2=20

∴BC2+CD2=BD2

∴△BCD為直角三角形．

解法二：過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F．

在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3

∴OB=OC∴∠OCB=45°

∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1

∴DF=CF

∴∠DCF=45°

∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°

∴△BCD為直角三角形

（3）

解：①△BCD的三邊， = = ，又 = ，故當(dāng)P是原點(diǎn)O時(shí)，△ACP∽△DBC；

②當(dāng)AC是直角邊時(shí)，若AC與CD是對應(yīng)邊，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，a），則PC=3﹣a， = ，即 = ，解得：a=﹣9，則P的坐標(biāo)是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；

③當(dāng)AC是直角邊，若AC與BC是對應(yīng)邊時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，b），則PC=3﹣b，則 = ，即 = ，解得：b=﹣ ，故P是（0，﹣ ）時(shí)，則△ACP∽△CBD一定成立；

④當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（d，0）．

則AP=1﹣d，當(dāng)AC與CD是對應(yīng)邊時(shí)， = ，即 = ，解得：d=1﹣3 ，此時(shí)，兩個(gè)三角形不相似；

⑤當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（e，0）．

則AP=1﹣e，當(dāng)AC與DC是對應(yīng)邊時(shí)， = ，即 = ，解得：e=﹣9，符合條件．

總之，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為： ．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；（3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．